Dimostra che il volume massimo di una piramide retta a base quadrata inscritta in una sfera è minore di 1/5 (un quinto) del volume della sfera.
grazie
Dimostra che il volume massimo di una piramide retta a base quadrata inscritta in una sfera è minore di 1/5 (un quinto) del volume della sfera.
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Livello 0
Indichiamo con x l'altezza della piramide : 0 <= x <= 2r
Se tracciamo la figura notiamo che, detta d la diagonale del quadrato di base,
(d/2)^2 = r^2 - (x - r)^2 = r^2 - x^2 + 2rx - r^2 = 2rx - x^2
d^2 = 4 (2rx - x^2)
Sb = d^2/2 = 2 (2rx - x^2)
Vp = 1/3 Sb h = x/3 * 2 (2rx - x^2) = 2/3 (2rx^2 - x^3)
dV/dx = 2/3 * (4rx - 3x^2) >= 0 intervalli di crescenza
la disequazione equivale a 4r - 3x >= 0 => x <= 4/3 r
puoi verificare facilmente che il massimo trovato é assoluto
constatando che Vp é nulla per x = 0 e x = 2r.
Vp* = 2/3 * (2r * 16/9 r^2 - 64/27 r^3) =
= 2/3 * (32/9 - 64/27) r^3 = 2/3 * 32/27 r^3 = 64/81 r^3
per cui risulta infine
RV <= 64/81 r^3 : (4/3 pi r^3) = 64/81 * 3/(4pi) = 16/(27 pi) ~ 0.1886
che, come richiesto, é minore di 1/5 = 0.2.
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Livello 7
@eidosm ehi ciao,
scusa non ho capito perché nel problema dove viene chiesto di dimostrare che il volume massimo di una piramide retta a base quadrata inscritta in una sfera è minore di 1/5 del volume della sfera, a un certo punto hai messo 16/9 e 64/27.
ti chiedi di rispondermi al più presto perché mi servirebbe saperlo per domani!
grazie
@eidosm per favore ne ho bisogno
ehi ciao,
scusa non ho capito perché nel problema dove viene chiesto di dimostrare che il volume massimo di una piramide retta a base quadrata inscritta in una sfera è minore di 1/5 del volume della sfera, a un certo punto hai messo 16/9 e 64/27.
ti chiedi di rispondermi al più presto perché mi servirebbe saperlo per domani!
grazie
La piramide retta a base quadrata inscritta nella sfera di raggio R ha volume massimo se e solo se la sua sezione diagonale è il triangolo isoscele di area massima inscritto nel cerchio massimo della sfera, cioè il triangolo equilatero di lato d = R*√3 e altezza h = (√3/2)*d = (3/2)*R.
Pertanto la piramide ha area di base B = (d/√2)^2 = (3/2)*R^2 e volume Vp = B*h/3 = (3/4)*R^3.
Il volume della sfera essendo Vs = (4/3)*π*R^3, "1/5 (un quinto) del volume della sfera" è (4/15)*π*R^3.
Tesi ("Dimostra che ...")
* Vp < Vs/5 ≡
≡ (3/4)*R^3 < (4/15)*π*R^3 ≡
≡ (3/4)/(4/15) = 45/16 = 2.8125 < π ≡ Vero
QED
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Genius I