Problema integrale

Risulta mt = d/dx ( - x^2/2 + 2x) = - x + 2

per cui mt(O) = 0 + 2 = 2

tO) y - 0 = 2(x - 0) => y = 2x

mt(A) = - 3 + 2 = -1

yA = - 9/2 + 6 = 3/2

tA) y - 3/2 = - (x - 3)

y = - x + 9/2

L'ascissa del punto di incontro é la soluzione di

2xP = - xP + 9/2

3xP = 9/2

xP = 3/2

e così S = S1 + S2 =

= S_[0,3/2] (2x + 1/2 x^2 - 2x) dx + S_[3/2,3] (9/2 - x + 1/2 x^2 - 2x) dx =

= 1/2 [x^3/3]_[0,3/2] + S_[3/2,3] (x^2/2 - 3x + 9/2) dx =

= 1/6 * 27/8 + [x^3/6 - 3/2 x^3 + 9/2 x]_[3/2,3] =

= 9/16 + [1/6 (27 - 27/8) - 3/2 (9 - 9/4) + 9/2 * 3/2] =

= 9/16 + [ 189/48 - 81/8 + 27/4 ] =

= 9/16 + [(63 - 162 + 108)/16] = 9/8

Verificato con Symbolab.

La parabola
* Γ ≡ y = - x^2/2 + 2*x ≡ y = 2 - (x - 2)^2/2
con pendenza
* m(x) = 2 - x
passa per O(0, 0) con pendenza m(0) = 2 e per A(3, 3/2) con pendenza m(3) = - 1. Da cui le tangenti
* r ≡ y = 2*x
* s ≡ y = 3/2 - (x - 3)
che incidono in P(3/2, 3).
La richiesta area S della zona colorata è la somma degl'integrali delle due differenze (r - Γ, s - Γ)
* S = ∫ [x = 0, 3/2] (2*x - (2 - (x - 2)^2/2))*dx + ∫ [x = 3/2, 3] (3/2 - (x - 3) - (2 - (x - 2)^2/2))*dx =
= ∫ [x = 0, 3/2] (x^2/2)*dx + ∫ [x = 3/2, 3] ((x - 3)^2/2)*dx =
= 9/16 + 9/16 =
= 9/8