Problema infiniti e infinitesimi (limiti)

La differenza fra i gradi del polinomio a numeratore e del polinomio a denominatore fornisce il grado di infinito del rapporto:

2·k - 4·3 = 2------> k = 7

La differenza fra i gradi del polinomio a denominatore e del polinomio a denominatore fornisce il grado di infinitesimo del rapporto:

4·3 - 2·k = 6---> k = 3

Al denominatore hai un polinomio di grado 12 (3x4=12).
Quindi se vuoi un INFINITO di Ordine 2, è necessario che al numeratore ci sia un polinomio di grado 14 (quindi bisogna che K sia 7), dato che il Grado del Quoziente tra due polinomi è uguale al grado del Dividendo meno il grado del Divisore.

Se vuoi un INFINITESIMO di grado 6, per lo stesso motivo, è necessario che il grado del numeratore sia 6 (12-6=6) e quindi K=3.

a. f(x) ha ordine di infinito pari a 2.  Cioè f(x) tende a + ∞ per x→+∞

Il numeratore ha un infinito di ordine 12 (x^4^3+...) rispetto a x per x che tende a +∞.

La funzione f(x) avrà un infinito di ordine 2 rispetto a x per x che tende a +∞ se e solo se l'ordine di infinito del numeratore è pari a 14, quindi se k a 7 si ha

$ f(x) = \frac {(x^2 +3)^7} {(x^4-1)^3} = \frac {x^14+21x^12+....+2187}{x^12-3x^8+3x^4-1} $

.

b.  Ha ordine di infinitesimo pari a 6. Ordine di infinitesimo significa che f(x) → 0 per x→+∞.

Abbiamo già visto che il denominatore ha un ordine di infinito pari a 12, f(x) avrà un ordine di infinitesimo pari a 6 rispetto a 1/x se il numeratore ha ordine di infinito pari a 6; cioè k = 3. Infatti

$ f(x) = \frac {(x^2+3)^3}{(x^4-1)^3} = {x^6+9x^4+27x^2+27}{x^12-3x^8+3x^4-1} $ 

Si vede che il limite è nullo è che l'ordine di infinitesimo rispetto alla 1/x è pari a 12 - 6 = 6.