Considera la parabola $\gamma$ di equazione $\bar{y}=x^{2}-4 x+4$ e la retta $r$ passante per il punto $A(-1 ; 1)$ e per il punto $B$ di $\gamma$ di ascissa $\frac{3}{5}$.
La retta $r$ interseca $\gamma$, oltre che in $B$, anche in $C$. Trova l'equazione della retta tangente $t$ alla parabola in $C$ e l'angolo formato dalle rette $r$ e $t$.
$$
\left[r: y=\frac{3}{5} x+\frac{8}{5} ; t: y=4 x-12 ; \frac{\pi}{4}\right]
$$
35
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Livello 0
Uso il Γ maiuscolo perche il minuscolo si confonde con l'y.
* Γ ≡ y = x^2 - 4*x + 4 = (x - 2)^2
* A(- 1, 1)
* B(3/5, (3/5 - 2)^2) = (3/5, 49/25)
* r ≡ y = (3*x + 8)/5
* r & Γ ≡ (y = (3*x + 8)/5) & (y = (x - 2)^2) ≡
≡ B(3/5, 49/25) oppure C(4, 4)
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Dalla forma normale canonica della parabola
* Γ ≡ x^2 - 4*x - y + 4 = 0
si ricava, per sdoppiamento rispetto al polo C(4, 4), la polare
* t ≡ 4*x - 4*(x + 4)/2 - (y + 4)/2 + 4 = 0 ≡ y = 4*(x - 3)
che, essendo C su Γ, è la tangente richiesta.
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Dalle pendenze
* tg(ρ) = 3/5 di r
* tg(τ) = 4 di t
si ricavano le inclinazioni rho e tau e la loro differenza δ che è l'angolo richiesto
* δ = τ - ρ = arctg(4) - arctg(3/5) = π/4
Vedi il paragrafo "Alternate forms" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=arctg%284%29-arctg%283%2F5%29
57382
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Genius I
di nuovo.
{y = x^2 - 4·x + 4
{x = 3/5
risolvo: y = (3/5)^2 - 4·(3/5) + 4-------> y = 49/25------> B(3/5,49/25)
Retta AB:
(y - 49/25)/(x - 3/5) = (1 - 49/25)/(-1 - 3/5)
(y - 49/25)/(x - 3/5) = 3/5
y - 49/25 = 3/5·(x - 3/5)
y - 49/25 = 3·x/5 - 9/25---------> y = 3·x/5 + 8/5 retta r
Determino C:
{y = x^2 - 4·x + 4
{y = 3·x/5 + 8/5
ottengo: B(x = 3/5 ∧ y = 49/25) e C(x = 4 ∧ y = 4)
Con formule di sdoppiamento ottengo l'altra retta:
(y + 4)/2 = 4·x - 4·(x + 4)/2 + 4
y = 4·x - 12
Fai poi riferimento alla figura allegata γ = α
TAN(α) = (4 - 3/5)/(1 + 4·3/5)
TAN(α) = 1-------->γ = α =pi/4
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Genius II
