[Risolto] Problema geometrico

Denominiamo con $x$ la lunghezza di $A E$. Si ha $A H=1-x$ e per il Teorema di Pitagora l'area di $E F G H$ è data da
$$
x^{2}+(1-x)^{2}=\frac{3}{5}
$$

Tale equazione di secondo grado ha per soluzioni $\frac{5 \pm \sqrt{5}}{10}$, dunque il rapporto tra $A E$ ed $A H$ vale
$$
\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}=\frac{(5+\sqrt{5})^{2}}{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}=\frac{30+10 \sqrt{5}}{25-5}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}
$$
oppure il reciproco di tale quantità

$$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$.

Se l’area del quadrato ABCD=1, la somma delle aree dei 4 triangoli rettangoli  vale 2/5 per fare complemento ad 1. Quindi significa che il singolo triangolo rettangolo ha area pari a 2/5*(1/4)=1/10.

Allora 1/10= 1/2*x*(1-x)———>*(10) si ha:

1=5x(1-x)————->5x^2-5x+1=0 che fornisce soluzioni:

x=(5-sqrt(5))/10 V x=(5+sqrt(5))/10

È facile verificare che la loro somma fornisce 1,quindi il rapporto fra il più grande ed il più piccolo dei due risultati, fornisce il rapporto fra il cateto maggiore ed il cateto minore di ogni triangolo rettangolo del contorno al quadrato interno.

Quindi il risultato ottenuto anche da Marika.