"spiegazione di ciascun passaggio" (quelli che ho fatto io, eh: nulla di assoluto!)
Che la somma di due quadrati faccia cinque di qualsiasi cosa mi fa pensare a due segmenti uno doppio dell'altro e quindi a un parallelogramma AOBP. Sarà un volo pindarico? Boh, chi lo sa.
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1) Usare il risultato atteso, |OP| = L*√3, per costruire un disegno su cui orientarmi (con L = 1, |OP| = √3).
* O(0, 0), A(- 2, 0)
* OP ≡ y = - x/√3
* OB ≡ y = (√3)*x
* P(- 3/2, √3/2), B(1/2, √3/2)
e pare proprio un parallelogramma: BP sulla y = √3/2, parallela all'asse x; xP - xA = 1/2 e pure xB - xO = 1/2; e il disegno
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%280%2C0%29%281%2F2%2C%E2%88%9A3%2F2%29%28-3%2F2%2C%E2%88%9A3%2F2%29%28-2%2C0%29%280%2C0%29%28-3%2F2%2C%E2%88%9A3%2F2%29
conferma che non era un volo pindarico.
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2) Mo si tratta di ottenerlo, il non volo, a partire dai dati.
Dati
* O(0, 0), A(- 2, 0), B(1/2, √3/2)
* OP ≡ y = - x/√3
sia P(- k, k/√3) il cursore sulla retta OP.
Il fascio di circonferenze concentriche su P è
* Γ(k, q) ≡ (x + k)^2 + (y - k/√3)^2 = q
e le condizioni di appartenenza dei punti dati determinano i quadrati dei raggi, cioè delle distanze a cui applicare i vincoli.
* per O, q = r^2: (0 + k)^2 + (0 - k/√3)^2 = q
* per A, a = r^2: (- 2 + k)^2 + (0 - k/√3)^2 = a
* per B, b = r^2: (1/2 + k)^2 + (√3/2 - k/√3)^2 = b
* "PA^2 + BP^2 = 5*l^2" → a + b = 5
* |OP| = √q
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3) Definita la strategia, si fanno un po' di calcoli.
* (a + b = 5) & ((1/2 + k)^2 + (√3/2 - k/√3)^2 = b) & ((k - 2)^2 + (k/√3)^2 = a) & (k^2 + (k/√3)^2 = q) ≡
≡ (a + b = 5) & (k^2 = 3*(b - 1)/4) & (k^2 - 3*k = 3*(a - 4)/4) & (k^2 = 3*q/4) ≡
≡ (k = 3/2) & (a = 1) & (b = 4) & (q = 3)
da cui
* P(- 3/2, √3/2)
* |OP| = √q = √3
che è proprio il risultato atteso.
