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[Risolto] Problema geometrico n. 227

  

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Buona giornata e buona settimana a tutti; vado sia a scrivere, sia a pubblicare la foto dell'esercizio geometrico n. 227 per il quale chiedo il vostro consueto aiuto: in un triangolo AOP, la base AO misura 2*l e l'angolo in O è di 30°. Traccia da O la semiretta perpendicolare al lato OP, giacente nello stesso semipiano del triangolo rispetto alla retta AO. Su tale perpendicolare considera un punto B tale che OB sia lungo l. Calcola la misura del segmento OP, sapendo che vale la relazione PA^2 + BP^2 = 5*l^2.  Risposta : l.*sqrt3

Chiedo per favore la spiegazione di ciascun passaggio e possibilmente il disegno della figura geometrica che, spesso è molto utile per comprendere meglio tutto l'esercizio. Il testo da cui ho estrapolato il problema non prevede l'uso della trigonometria.

20240128 163031

 

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2 Risposte



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@ocirebla 

Ciao ti ringrazio molto, ma non conosco la trigonometria. Se leggi fino in fondo quello che ho scritto, ho puntualizzato il fatto che, avendo estrapolato l'esercizio da un testo per la classe II ITIS, lo studio della trigonometria stessa non è contemplata. Comunque grazie per la tua risposta; ti auguro una buona giornata.

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@ocirebla 

Ciao grazie tante ora tutto chiaro; ancora buona giornata



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"spiegazione di ciascun passaggio" (quelli che ho fatto io, eh: nulla di assoluto!)
Che la somma di due quadrati faccia cinque di qualsiasi cosa mi fa pensare a due segmenti uno doppio dell'altro e quindi a un parallelogramma AOBP. Sarà un volo pindarico? Boh, chi lo sa.
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1) Usare il risultato atteso, |OP| = L*√3, per costruire un disegno su cui orientarmi (con L = 1, |OP| = √3).
* O(0, 0), A(- 2, 0)
* OP ≡ y = - x/√3
* OB ≡ y = (√3)*x
* P(- 3/2, √3/2), B(1/2, √3/2)
e pare proprio un parallelogramma: BP sulla y = √3/2, parallela all'asse x; xP - xA = 1/2 e pure xB - xO = 1/2; e il disegno
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%280%2C0%29%281%2F2%2C%E2%88%9A3%2F2%29%28-3%2F2%2C%E2%88%9A3%2F2%29%28-2%2C0%29%280%2C0%29%28-3%2F2%2C%E2%88%9A3%2F2%29
conferma che non era un volo pindarico.
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2) Mo si tratta di ottenerlo, il non volo, a partire dai dati.
Dati
* O(0, 0), A(- 2, 0), B(1/2, √3/2)
* OP ≡ y = - x/√3
sia P(- k, k/√3) il cursore sulla retta OP.
Il fascio di circonferenze concentriche su P è
* Γ(k, q) ≡ (x + k)^2 + (y - k/√3)^2 = q
e le condizioni di appartenenza dei punti dati determinano i quadrati dei raggi, cioè delle distanze a cui applicare i vincoli.
* per O, q = r^2: (0 + k)^2 + (0 - k/√3)^2 = q
* per A, a = r^2: (- 2 + k)^2 + (0 - k/√3)^2 = a
* per B, b = r^2: (1/2 + k)^2 + (√3/2 - k/√3)^2 = b
* "PA^2 + BP^2 = 5*l^2" → a + b = 5
* |OP| = √q
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3) Definita la strategia, si fanno un po' di calcoli.
* (a + b = 5) & ((1/2 + k)^2 + (√3/2 - k/√3)^2 = b) & ((k - 2)^2 + (k/√3)^2 = a) & (k^2 + (k/√3)^2 = q) ≡
≡ (a + b = 5) & (k^2 = 3*(b - 1)/4) & (k^2 - 3*k = 3*(a - 4)/4) & (k^2 = 3*q/4) ≡
≡ (k = 3/2) & (a = 1) & (b = 4) & (q = 3)
da cui
* P(- 3/2, √3/2)
* |OP| = √q = √3
che è proprio il risultato atteso.

 

@exprof 

Ciao grazie per la risposta; ora stampo e poi passaggio per passaggio arriverò alla conclusione. Ti auguro un buon pomeriggio.



Risposta
SOS Matematica

4.6
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