Problema geometrico

Question

Buona serata a tutti voi; vado a postare il problema geometrico n. 135 per il quale chiedo il vostro costante e prezioso aiuto. Gentilmente gradirei sia il disegno che i passaggi algebrici dell'esercizio. Ringrazio in anticipo coloro che mi risponderanno.

Numero 135
Data la semicirconferenza di diametro $A B$ e raggio $27 \mathrm{~cm}$, sul prolungamento di $A B$ dalla parte di $B$ considera il punto $C$ tale che $B C=18 \mathrm{~cm} \mathrm{e}$ traccia la tangente $T C$ nel punto $T$ alla circonferenza. $S u T C$ considera $P$ e la sua proiezione $H$ su $B C$. Determina $P$ in modo che $P H C$ abbia area uguale a $24 \mathrm{~cm}^2$.
$[\mathrm{PH}=6 \mathrm{~cm}]$

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Beppe

(@beppe)

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14/06/2023 23:37

remanzini_rinaldo · Accepted Answer

[attach]49583[/attach] OB = OT = 27 cm BC = 18 cm   triangoli COT e CHP simili per avere entrambi un angolo retto e l'angolo C in comune  OC /PC = OT /PH PH = 27PC/45 = 3PC/5 CH = 4PC/5 (1° terna pitagorica) 24*2 = 48 = CH*PH = 12PC^2/25 PC = √48/12*25 = √100 = 10 cm PH = 10*3/5 = 6,0 cm CH = 10*4/5 = 8,0 cm

StefanoPescetto · Answer

Triangolo rettangolo OTC  Terna Pitagorica primitiva 3-4-5  Terna Pitagorica derivata 27-36-45 La superficie del triangolo è S= (1/2)*27*36   Imponendo la condizione richiesta,si ricava il rapporto tra le superfici dei due triangoli rettangoli simili, triangolo OTC e PHC. Tale rapporto è pari al quadrato del rapporto di similitudine (rapporto tra i perimetri e lati omologhi dei due triangoli)  K² = (27*36)/(2*24) = 81/4 k= 9/2 Quindi: PH = OT/k = 27/(9/2) = 6    Ciao @Beppe,  Buona giornata

exProf · Answer

Stante l'evidente identità con il #138 di ieri, parto direttamente in analitica.
* Γ ≡ (x^2 + y^2 = 27^2) & (y >= 0)
* B(27, 0), C(45, 0)
* p ≡ x*45 + y*0 - 27^2 = 0 ≡ x = 81/5
* p & Γ ≡ (x = 81/5) & (x^2 + y^2 = 27^2) & (y >= 0) ≡ T(81/5, 108/5)
---------------
Il segmento TC corrisponde all'intervallo k ∈ [0, 1] della retta col seguente cursore
* P = T + k*(C - T) = (81/5, 108/5) + k*((45, 0) - (81/5, 108/5)) =
= P(9*(16*k + 9)/5, 108*(1 - k)/5)
quindi
* H(9*(16*k + 9)/5, 0)
---------------
Il triangolo PHC è, per costruzione, rettangolo in H e pertanto ha area S pari al semiprodotto dei cateti
* |HC| = 45 - 9*(16*k + 9)/5 = 144*(1 - k)/5
* |HP| = 108*(1 - k)/5
da cui
* S = |HC|*|HP|/2 = (144*(1 - k)/5)*(108*(1 - k)/5)/2 = (7776/25)*(1 - k)^2 = 24 ≡
≡ (1 - k)^2 = 25/324 = (5/18)^2 ≡
≡ 1 - k = 5/18 ≡
≡ k = 13/18
quindi
* P(9*(16*13/18 + 9)/5, 108*(1 - 13/18)/5) = (37, 6)
che è proprio il risultato atteso.

exProf

(@exprof)

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15/06/2023 07:06

LucianoP · Answer

[attach]49594[/attach] OTC e PHC sono triangoli rettangoli simili in quanto hanno un angolo acuto in comune quindi congruente in C triangolo rettangolo OTC TC= √((27 + 18)^2 - 27^2) = 36 cm Area=1/2·27·36 = 486 cm^2 triangolo rettangolo PHC Area=24 cm^2 rapporto di similitudine: k=√(24/486) = 2/9 Quindi: PH=2/9·27 = 6 cm HC=2/9·36 = 8 cm Da cui le coordinate del punto P nel disegno allegato.

[Risolto] Problema geometrico

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