Problema geometrico di trigonometria

Facciamo riferimento alla figura su allegata. Accanto alle rette parallele AA’ e BB’ conduciamo la retta OP: essa è tale per cui risulta parallela alle due precedentemente dette e tale da dividere in due parti congruenti il segmento A’B’. Gli angoli indicati con x in figura sono tutti congruenti fra loro: in particolare due di essi sono congruenti perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco PB, il triangolo APO è isoscele con angoli alla base indicati con x infine l’ultimo angolo indicato con x risulta alterno interno fra rette AA’ ed OP tagliate dalla trasversale AP.

Consideriamo quindi i triangoli rettangoli simili: AA’P , BB’P ed APB per essi:

AA’=AP·COS(x) = 2·r·COS(x)^2

BB’=PB·SIN(x) = 2·r·SIN(x)^2

A’P=AP·SIN(x) = 2·r·SIN(x)·COS(x)=PB’

quindi: A’B’=4·r·SIN(x)·COS(x)

Ne consegue che:

2·r·COS(x)^2 + 9·2·r·SIN(x)^2 = 2·√3·4·r·SIN(x)·COS(x)

16·r·SIN(x)^2 + 2·r = 8·√3·r·SIN(x)·COS(x)

8·SIN(x)^2 + 1 = 4·√3·SIN(x)·COS(x)

anche:

9·SIN(x)^2 - 4·√3·SIN(x)·COS(x) + COS(x)^2 = 0 (come dal testo)

Pongo: Υ = SIN(x) ; Χ = COS(x) e risolvo il sistema:

{9·Υ^2 - 4·√3·Υ·Χ + Χ^2 = 0

{Υ^2 + Χ^2 = 1

ottengo: [Υ = 1/2 ∧ Χ = √3/2 ; Υ = √7/14 ∧ Χ = 3·√21/14]

(vi sono altre due soluzioni che sono opposte a queste che scarto)

{SIN(x) = 1/2

{COS(x) = √3/2

ottengo: x = pi/6

{SIN(x) = √7/14

{COS(x) = 3·√21/14

ottengo: x = ATAN(√3/9)