Problema geometria (rette e circonferenze)

Dati:

* ∠APB = 80° (angolo formato dalle tangenti)

Proprietà da ricordare:

* Tangente e raggio: Una tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. Quindi, ∠OAP = ∠OBP = 90°.

* Angoli alla circonferenza e archi: Un angolo alla circonferenza misura la metà dell'arco che sottende.

* Angolo esterno di un triangolo: L'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti.

Soluzione:

* Triangoli OAP e OBP:

   * Sono triangoli rettangoli in A e B, rispettivamente.

   * I lati OA e OB sono raggi, quindi congruenti.

   * I cateti PA e PB sono congruenti (segmenti di tangenza).

   * Pertanto, i triangoli OAP e OBP sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli (cateto-ipotenusa).

* Angolo APO:

   * Poiché i triangoli OAP e OBP sono congruenti, anche gli angoli APO e BPO sono congruenti.

   * La somma degli angoli interni del triangolo APB è 180°, quindi:

     ∠APO + ∠BPO + ∠APB = 180°

     2 * ∠APO = 180° - 80°

     ∠APO = 50°

* Angolo ACB:

   * L'angolo ACB è un angolo alla circonferenza che sottende l'arco AB.

   * L'angolo APB è un angolo alla circonferenza che sottende lo stesso arco AB.

   * Quindi, ∠ACB = ∠APB = 80°.

* Angolo APC:

   * L'angolo APC è l'angolo esterno del triangolo ACP.

   * Quindi, ∠APC = ∠ACB + ∠CAP = 80° + 90° = 170°.

Riepilogo degli angoli:

* ∠APB = 80° (dato)

* ∠OAP = ∠OBP = 90° (tangente e raggio)

* ∠APO = ∠BPO = 50° (calcolato)

* ∠ACB = 80° (angolo alla circonferenza)

* ∠APC = 170° (angolo esterno)

Risposta:

Le ampiezze degli angoli del quadrilatero APBC sono:

* ∠APB = 80°

* ∠APC = 170°

* ∠CPB = 170° (perché congruente a ∠APC)

* ∠BAC = 90°

* ∠ABC = 90°

Osservazione:

Il quadrilatero APBC è un quadrilatero ciclico, ovvero i suoi vertici giacciono tutti su una circonferenza.