[Risolto] Problema geometria su parallelogramma

Ciao @beppe

Il triangolo ABD è rettangolo, in D, di ipotenusa AB e di cateti AD e BD.

E' facile riconoscere che Il triangolo rettangolo ABD è derivato dal triangolo rettangolo primitivo avente dimensioni (3,4,5).

Siccome il semiperimetro del parallelogramma vale:

96/2 = 48

ne consegue che il lato AD vale 3/5 dell'ipotenusa AB

3/5----> 3+5=8

48/8·3 = 18 (immagino cm)

48/8·5 = 30 (cm) lato AB

La diagonale BD con Pitagora:

√(30^2 - 18^2) = 24 (cm)

Quindi PB=5 (cm)

il perimetro del parallelogramma ABCD è 96. La diagonale DB è perpendicolare al lato AD. Il rapporto fra il lato AB e DB è 5/4. a) Determina i lati del parallelogramma e la misura di AC. b) Preso P su DB e chiamata H la sua proiezione su AB, trova per quale posizione di P si ha PH^2 + PC^2 = 358. Risposte : a) AB = 30, AD= 18, AC = 12 sqrt 13; b) PB = 5.

triangolo ABD retto in D

1) si applica Pitagora:

AB ≡ 5

BD ≡ 4

AD ≡ √5^2-4^2 ≡ 3

AB+AD = 96/2 = 48 cm

k(5+3) = 48 cm

k = 48/8 = 6

AB = 5k = 30 cm

AD = 3k = 18 cm 

BD = 4k = 24 cm 

2) si applica Euclide :

AK = AD^2/AB = 18^2/30 = 10,80

Bk = BD^2/AB = 24^2/30 = 19,20 

DK = √AK*BK = √10,80*19,20 = 14,40 

3) si riapplica Pitagora 

AC = √(AB+AK)^2+DK^2 = √40,8^2+14,40^2 = √1.872 = √144*13 = 12√13 

i triangoli ABD e BHP sono simili avendo entrambi un angolo retto ed in comune l'angolo in B ; in particolare HP è proporzionale ad AD e BP è proporzionale ad AB, pertanto "audemus dicere" 😉 : 

PH^2+PC^2 = Ph^2+(PB^2+BC^2) = 358

358-18^2 = 34 = PH^2+PB^2

...essendo PH = 3PB/5

34 = PB^2+9PB^2/25 = 34PB^2/25 

PB^2 = 25

PB = 5 

PH= = 5*3/5 = 3

BC = 18

5^2+3^2+324 = 358 cm^2 ..QED !!

* |BC| = |DA| = a
* |BD| = b
* |AB| = |CD| = c
* c/b = 5/4
ABD è rettangolo in D e "c/b = 5/4" indica la terna (3, 4, 5), quindi
* k*c = k*√(3^2 + 4^2) = 5*k ≡ c = 5*k → b = 4*k → a = 3*k
* h = a*b/c = 12/5
* p = 2*(a + c) = 16*k = 96 ≡ k = 6
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Lati
* a = 18, b = 24, c = 30
Angoli
* DAB = BCD = α = arccos(a/c) = arccos(3/5)
* ABC = ADC = β = π - α = π - arccos(3/5)
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Carnot
* |AC| = √(a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(β)) =
= √(18^2 + 30^2 - 2*18*30*cos(π - arccos(3/5))) =
= √(1224 - 1080*(- 3/5)) = 12*√13 ~= 43.3
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Da qui in poi commuto da Euclide & C. a Cartesio.
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* A(0, 0), B(30, 0)
* AD ≡ y = x*tg(α) = x*tg(arccos(3/5)) ≡ y = (4/3)*x
* (y = (4/3)*x) & (x^2 + y^2 = 18^2) ≡ D(54/5, 72/5) → C(204/5, 72/5)
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b) Preso P su DB e detta H la sua proiezione su AB: trova per quale P si ha
* PH^2 + PC^2 = 358
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Il segmento DB è percorso dal cursore P per k ∈ [0, 1] sulla retta (parametrica)
* DB = D + k*(B - D) = (54/5, 72/5) + k*((30, 0) - (54/5, 72/5)) =
= P(6*(16*k + 9)/5, 72*(1 - k)/5)
* H(6*(16*k + 9)/5, 0)
quindi
* |PH|^2 = 5184*(1 - k)^2/25
* |PC|^2 = 36*(16*k^2 - 32*k + 25)
* |PH|^2 + |PC|^2 = 358 ≡
≡ 5184*(1 - k)^2/25 + 36*(16*k^2 - 32*k + 25) - 358 = 0 ≡
≡ 576*k^2 - 1152*k + 551 = 0 ≡
≡ (k = 19/24 ∈ [0, 1]) oppure (k = 29/24 ∉ [0, 1]) ≡
≡ k = 19/24 ∈ [0, 1]
da cui
* P(26, 3)