In un rettangolo $A B C D$ la diagonale $A C$ è lunga $18 \mathrm{~cm}$ e forma con la base un angolo di $30^{\circ}$. Sapendo che la base misura $15,588 \mathrm{~cm}$, calcola il perimetro del rettangolo e le ampiezze degli angoli di ciascun triangolo in cui risulta diviso il rettangolo dalla diagonale.
Buongiorno, vorrei un aiuto con il numero 184. Come posso trovare la misura di cb senza utilizzare il teorema di Pitagora? Per trovare gli angoli ho già risolto. Grazie.
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Livello 1
Considerando i lati del rettangolo come segmenti orientati, o anche come vettori applicati, è sufficiente notare che la diagonale $\overrightarrow{AC}$ del rettangolo è proprio il vettore somma di lati $\overrightarrow{AD}$ e $\overrightarrow{AB}$. Come prima cosa diamo la definizione di coseno dell'angolo fra due vettori.
Se $v,w\in V$ ( spazio vettoriale sul campo $\mathbb{R}$ ), si dice dice coseno dell'angolo tra $v$ e $w$ il numero reale
$cos(v,w) = \dfrac{\left\langle v,w \right\rangle}{\left\| v \right\| \left\| w \right\|}$
dove abbiamo indicato con i simboli $\left\langle v,w \right\rangle$ e $\left\| v \right\|$ rispettivamente il prodotto scalare definito positivo su $V$ e la norma ( o lunghezza ) di $v$.
Identifichiamo i vettori applicati $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$, e $\overrightarrow{AB}$ rispettivamente con $v + w$, $v$ e $w$. Dalla figura possiamo osservare che $v \bot w$ . Ma se $v$ e $w$ sono ortogonali, e denotando con $\theta$ la misura dell'angolo compreso tra $w$ e $v+w$ in radianti, ritroviamo le formule familiari con cui normalmente si definiscono seno e coseno:
$\left\| v \right\| = \left\| v+w \right\|sen(w,v+w), \ \ \ \left\| w \right\| = \left\| v+w \right\|cos(w,v+w)$.
Dunque, siccome $v$ e $w$ sono ortogonali abbiamo che
$\left\| v \right\| = \left\| v+w \right\|sen(\theta), \ \ \ \left\| w \right\| = \left\| v+w \right\|cos(\theta)$.
La lunghezza del vettore $v$ è data da
$\left\| v \right\| = \left\| v+w \right\|sen(\theta)$
da cui
$\left\| v \right\| = 18\cdot sen(\pi/6) = 9$
Pertanto il perimetro è dato da
$2p = 2 \cdot ( 15,588 \ cm )+ 2 \cdot ( 9 \ cm ) = 31,176 + 18 = 49 \ cm$.
Siccome $\overrightarrow{AD}$ e $\overrightarrow{AB}$ sono ortogonali allora la misura dell'angolo tra essi compreso è $\pi/2$, e considerando che i vettori $\overrightarrow{BC}$ e $\overrightarrow{DC}$ sono equipollenti ai vettori $\overrightarrow{AD}$ e $\overrightarrow{AB}$, allora la misura dell'angolo tra $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$ è esattamente $\pi/2$. Mentre la misura dell'angolo mancante è data da
$\phi = \pi - ( \pi/6+ \pi/2) = \pi/3$.
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Livello 2
Come posso trovare la misura di CB senza utilizzare il teorema di Pitagora?
Risposta: basta osservare che ABC è la metà di un triangolo equilatero. Quindi BC=18/2=9 cm
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Genius II
