[Risolto] Problema geometria

Considerando i lati del rettangolo come segmenti orientati, o anche come vettori applicati, è sufficiente notare che la diagonale $\overrightarrow{AC}$ del rettangolo è proprio il vettore somma di lati $\overrightarrow{AD}$ e $\overrightarrow{AB}$. Come prima cosa diamo la definizione di coseno dell'angolo fra due vettori.

Se $v,w\in V$ ( spazio vettoriale sul campo $\mathbb{R}$ ), si dice dice coseno dell'angolo tra $v$ e $w$ il numero reale

$cos(v,w) = \dfrac{\left\langle v,w \right\rangle}{\left\| v \right\| \left\| w \right\|}$

dove abbiamo indicato con i simboli $\left\langle v,w \right\rangle$ e $\left\| v \right\|$ rispettivamente il prodotto scalare definito positivo su $V$ e la norma ( o lunghezza ) di $v$.

Identifichiamo i vettori applicati $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$, e $\overrightarrow{AB}$ rispettivamente con $v + w$, $v$ e $w$. Dalla figura possiamo osservare che $v \bot w$ . Ma se $v$ e $w$ sono ortogonali, e denotando con $\theta$ la misura dell'angolo compreso tra $w$ e $v+w$ in radianti, ritroviamo le formule familiari  con cui normalmente si definiscono seno e coseno:

$\left\| v \right\| = \left\| v+w \right\|sen(w,v+w), \ \ \ \left\| w \right\| = \left\| v+w \right\|cos(w,v+w)$.

 Dunque, siccome $v$ e $w$ sono ortogonali abbiamo che

$\left\| v \right\| = \left\| v+w \right\|sen(\theta), \ \ \ \left\| w \right\| = \left\| v+w \right\|cos(\theta)$.

La lunghezza del vettore $v$ è data da

$\left\| v \right\| = \left\| v+w \right\|sen(\theta)$

da cui

$\left\| v \right\| = 18\cdot sen(\pi/6) = 9$

Pertanto il perimetro è dato da

$2p = 2 \cdot ( 15,588 \ cm )+ 2 \cdot ( 9 \ cm ) = 31,176 + 18 = 49 \ cm$.

Siccome $\overrightarrow{AD}$ e $\overrightarrow{AB}$ sono ortogonali allora la misura dell'angolo tra essi compreso è $\pi/2$, e considerando che i vettori $\overrightarrow{BC}$ e $\overrightarrow{DC}$ sono equipollenti ai vettori $\overrightarrow{AD}$ e $\overrightarrow{AB}$, allora la misura dell'angolo tra $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$ è esattamente $\pi/2$. Mentre la misura dell'angolo mancante è data da

$\phi = \pi - ( \pi/6+ \pi/2) = \pi/3$.

Come posso trovare la misura di CB senza utilizzare il teorema di Pitagora?

Risposta: basta osservare che ABC è la metà di un triangolo equilatero. Quindi BC=18/2=9 cm