Dato un triangolo $A B C$, isoscele sulla base $A B$, considera un punto $P$ sul lato $B C$ e un punto $Q$, sul prolungamento di $A C$ dalla parte di $A$, tale che $B P \cong A Q$. Dimostra che il punto di intersezione tra $A B$ e $P Q$ è il punto medio di $P Q$. (Suggerimento: traccia da $P$ la parallela ad $A C$ che interseca $A B$ in $R$ e considera il quadrilatero $A P R Q$ )
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Livello 0
Per costruzione la retta PR è parallela ad AC, pertanto gli angoli CAB e PRB sono congruenti perché corrispondenti tra le rette parallele con trasversale AB.
D'altra parte il triangolo ABC è isoscele, dunque essendo CAB=CBA, anche PRB=CBA e dunque il triangolo RPB è anch'esso isoscele.
Questo implica che il segmento PR=PB. Dato che per ipotesi PB=AQ, per transitività anche PR=AQ.
Avendo dunque i segmenti PR e AQ che sono paralleli e congruenti, il quadrilatero PRAQ è un parallelogramma.
Dalle proprietà dei parallelogrammi sappiamo che le diagonali si bisecano, dunque AR e QP si intersecano vicendevolmente nel punto medio.
Noemi
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Livello 5
