[Risolto] Problema funzioni goniometriche

DOPO UN'ORA E MEZZA DALLA PUBBLICAZIONE, PENSO DI NON CORRERE RISCHI LEGALI.
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a) Se p(x) è una funzione di periodo T allora p(k*x), con k > 0, ha periodo T/k.
Se il grafico di p(x) passa per il punto P(u, v) allora p(u) = v.
Nel caso 599
* tg(x) è una funzione di periodo T = π
* tg(b*x) è una funzione di periodo T/b = 2*π ≡ π/b = 2*π ≡ b = 1/2
da cui
* f(x) = a*tg(b*x) = a*tg(x/2)
Il grafico di
* f(x) = y = a*tg(x/2)
passa per P(- π/2, - 3) se e solo se
* f(- π/2) = - 3 = a*tg((- π/2)/2) ≡
≡ a = - 3/tg((- π/2)/2) = - 3/(- 1) = 3
da cui
* f(x) = 3*tg(x/2)
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b) http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D3*tg%28x%2F2%29%5Dx%3D-3*%CF%80+to+3*%CF%80%2Cy%3D-9to9
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c) L'equazione
* f(x) + x = 0 ≡ f(x) = - x ≡ 3*tg(x/2) = - x
ha per soluzioni le coordinate degli eventuali punti comuni fra i grafici di
* y = 3*tg(x/2), già visto al punto b
* y = - x, la bisettrice dei quadranti pari
che sono, oltre che ovviamente nell'origine, anche alle ascisse ± 4, ± 10, ± 16, ... all'incirca.
Tuttavia, per "stabilire graficamente" qualcosa sulle intersezioni, credo che siano più visibili sugli equivalenti grafici di
* y = tg(x/2)
* y = - x/3
in cui la retta è più vicina all'asse x, come puoi vedere al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dtg%28x%2F2%29%2Cy%3D-x%2F3%2Cx%5E2%3D4*%CF%80%5E2%5Dx%3D-8to8%2Cy%3D-4to4
dove ho messo le parallele che delimitano la fascia dell'intervallo [- 2*π, 2*π] prescritto.
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d) Direi che conviene procedere in senso inverso rispetto alla consegna: dapprima ricercare l'espressione analitica della funzione inversa e poi, solo nel caso non ci si riesca, dichiarare la funzione non invertibile nell'intervallo [- π, π] prescritto.
* f(x) = y = 3*tg(x/2) ≡
≡ y/3 = tg(x/2) ≡
≡ arctg(y/3) = arctg(tg(x/2)) ≡
≡ x/2 = arctg(y/3) ≡
≡ x = 2*arctg(y/3)
quindi
* inv[f(x)] = y = 2*arctg(x/3)
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Per una controprova grafica vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D3*tg%28x%2F2%29%2Cy%3D2*arctg%28x%2F3%29%2Cy%3Dx%2Cx%5E2%3D%CF%80%5E2%5Dx%3D-4to4%2Cy%3D-4to4
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Per una controprova analitico-grafica vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=inverseFunction%5By%3D3*tg%28x%2F2%29%5D