Problema fisica - spinta di Archimede

Una chiatta per il trasporto di sabbia, costruita in legno di abete, ha la forma di un parallelepipedo di base 24 m^2 e spessore 45 cm.

La densità del legno di abete è 600 kg/m3, e la chiatta sta trasportando un carico di 1400 kg.

• Calcola l'altezza hi della parte immersa.

(24*0,45*600+1400)*9,806 = 9,806*1000*24*hi 

hi = (24*0,45*600+1400)/(1.000*24) = 0,328 m

Per risolvere questo problema, utilizziamo il principio di Archimede, che afferma che un corpo immerso in un fluido subisce una spinta verso l'alto pari al peso del fluido spostato.

Passo 1: Dati forniti
- Base della chiatta \( A = 24 \, \text{m}^2 \)
- Spessore della chiatta \( h_{\text{chiatta}} = 45 \, \text{cm} = 0.45 \, \text{m} \)
- Densità del legno \( \rho_{\text{legno}} = 600 \, \text{kg/m}^3 \)
- Carico trasportato \( m_{\text{carico}} = 1400 \, \text{kg} \)
- Densità dell'acqua \( \rho_{\text{acqua}} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)

Passo 2: Peso totale della chiatta

Il peso totale della chiatta è dato dalla somma del peso della chiatta stessa e del peso del carico. Calcoliamo separatamente ciascuno.

2.1 Peso della chiatta

Il volume della chiatta è:

$$
V_{\text{chiatta}} = A \cdot h_{\text{chiatta}} = 24 \, \text{m}^2 \cdot 0.45 \, \text{m} = 10.8 \, \text{m}^3
$$

Il peso della chiatta è dato dal prodotto tra la densità del legno, il volume della chiatta e l'accelerazione gravitazionale \( g \):

$$
P_{\text{chiatta}} = \rho_{\text{legno}} \cdot V_{\text{chiatta}} \cdot g
$$

Ma, poiché ci serve solo la massa per calcolare la forza, possiamo esprimere il peso come:

$$
m_{\text{chiatta}} = \rho_{\text{legno}} \cdot V_{\text{chiatta}} = 600 \, \text{kg/m}^3 \cdot 10.8 \, \text{m}^3 = 6480 \, \text{kg}
$$

2.2 Peso del carico

Il peso del carico è già fornito ed è pari a \( m_{\text{carico}} = 1400 \, \text{kg} \).

2.3 Massa totale della chiatta

La massa totale della chiatta è la somma della massa della chiatta e della massa del carico:

$$
m_{\text{totale}} = m_{\text{chiatta}} + m_{\text{carico}} = 6480 \, \text{kg} + 1400 \, \text{kg} = 7880 \, \text{kg}
$$

Passo 3: Principio di Archimede

Secondo il principio di Archimede, il peso totale della chiatta è uguale alla spinta di galleggiamento esercitata dall'acqua, che a sua volta è uguale al peso del volume di acqua spostato. La spinta di galleggiamento è quindi:

$$
P_{\text{acqua}} = \rho_{\text{acqua}} \cdot V_{\text{acqua}} \cdot g
$$

Ma poiché l'accelerazione di gravità \( g \) è uguale su entrambi i lati, possiamo confrontare le masse:

$$
m_{\text{totale}} = \rho_{\text{acqua}} \cdot V_{\text{acqua}}
$$

Dove \( V_{\text{acqua}} \) è il volume d'acqua spostato, che è pari alla base della chiatta \( A \) moltiplicata per l'altezza immersa \( h_{\text{immersa}} \):

$$
V_{\text{acqua}} = A \cdot h_{\text{immersa}}
$$

Sostituendo nell'equazione:

$$
m_{\text{totale}} = \rho_{\text{acqua}} \cdot A \cdot h_{\text{immersa}}
$$

Risolviamo per \( h_{\text{immersa}} \):

$$
h_{\text{immersa}} = \frac{m_{\text{totale}}}{\rho_{\text{acqua}} \cdot A}
$$

Sostituendo i valori numerici:

$$
h_{\text{immersa}} = \frac{7880 \, \text{kg}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 24 \, \text{m}^2} = \frac{7880}{24000} \, \text{m} = 0.3283 \, \text{m}
$$

Risultato finale:

L'altezza della parte immersa della chiatta è circa  0.328 m  (32.8 cm).