[Ho trovato generatrici e centro fascio e poi ho sostituito le coordinate dell’estremo A nell’equazione del fascio ma non capisco bene che vuol dire che quando il fascio interseca l’estremo A venga k=impossibile, come va interpretato?]
Determiniamo per quali valori di k le rette del fascio di equazione kx + (k + 1)y - 2 = O intersecano il segmento AB
di estremi A(1, -1) e B(3, 3).
[Risultato: k>= -1/6]
88
punti
Livello 1
k·x + (k + 1)·y - 2 = 0
A [1, -1]
B [3, 3]
AB è il segmento: le rette del fascio devono intersecarlo.
Riscrivo il fascio:
k·(x + y) + y - 2 = 0
Determino il punto base del fascio:
{y - 2 = 0
{x + y = 0
Risolvo: [x = -2 ∧ y = 2]
Determino le rette passanti per il punto base e per gli estremi del segmento:
[-2, 2]
[1, -1]
(y + 1)/(x - 1) = (2 + 1)/(-2 - 1)
y = -x con m=-1
[-2, 2]
[3, 3]
(y - 3)/(x - 3) = (2 - 3)/(-2 - 3)
y = x/5 + 12/5 con m=1/5
Risolvo il fascio in termini di y:
y = 2/(k + 1) - k·x/(k + 1)
Il coefficiente angolare della generica retta è: m = - k/(k + 1)
Deve quindi essere:
-1 ≤ - k/(k + 1) ≤ 1/5
Risolvo il sistema che si deduce dalla relazione di sopra
k ≥ - 1/6
88941
punti
Genius II
@lucianop Grazie Luciano, molto più chiaro della spiegazione del libro.
Grazie a te del complimento nei miei riguardi. buon pomeriggio.
Trovo priva di senso tutta la scritta fra quadratelli, rispetto al testo che domanda soltanto di trovare le condizioni affinché si abbiano intersezioni reali fra un fascio di rette e un segmento.
Il segmento di estremi A(1, - 1) e B(3, 3) è
* AB ≡ (y = 2*x - 3) & (1 <= x <= 3)
Il fascio dato è
* r(k) ≡ k*x + (k + 1)*y - 2 = O
Le loro intersezioni sono le soluzioni di
* r(k) & AB ≡ (k*x + (k + 1)*y - 2 = O) & (y = 2*x - 3) & (1 <= x <= 3) ≡
≡ (k*x + (k + 1)*(2*x - 3) - 2 = 0) & (y = 2*x - 3) & (1 <= x <= 3) ≡
≡ (x = (3*k + 5)/(3*k + 2)) & (k != - 2/3) & (y = 2*x - 3) & (1 <= x <= 3) ≡
≡ (x = (3*k + 5)/(3*k + 2)) & (1 <= (3*k + 5)/(3*k + 2) <= 3) & (k != - 2/3) & (y = 2*x - 3) ≡
≡ (x = (3*k + 5)/(3*k + 2)) & (k >= - 1/6) & (y = 2*x - 3)
che è proprio il risultato atteso.
A che cosa sarebbe dovuto servire "trovare generatrici e centro fascio e poi sostituire ..."?
E che minchiazza dovrebbe significare "k=impossibile, come va interpretato?"?
56990
punti
Genius I
@exprof hai ragione scusami, il problema è che ho le idee parecchio confuse sui fasci di rette, ho appena postato alcune domande infatti, se riesci a chiarirmi qualche dubbio te ne sarei grato.
