problema equazioni secondo grado

Poni il numero degli alunni $= x$ ed imposta la seguente equazione:

$\frac{60}{x} = \frac{60}{x-5}-1$

$mcm = x(x-5) ~con ~x≠0;e~ x≠5$ quindi:

$60(x-5) = 60x -x(x-5)$

$60x -300 = 60x -x^2 +5x$

$60x -300 = 65x -x^2$

$x^2+60x-65x = 300$

$x^2 -5x = 300$

eguaglia a zero:

$x^2-5x-300 = 0$ equazione di secondo grado completa, puoi applicare la formula risolutiva con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b= -5$;

$c= -300$;

$∆= b^2-4ac = (-5)^2-(4×1×-300) = 25-(-1200) = 25+1200 = 1225$;

$x_{1,2}= \frac{-b±\sqrt{∆}}{2a} = \frac{-(-5)±\sqrt{1225}}{2×1} = \frac{5±35}{2}$;

risultati:

$x_1= \frac{5-35}{2} = -15$;

$x_2= \frac{5+35}{2} = 20$;

scartiamo il dato negativo (ovviamente il numero degli alunni non può essere negativo);

quindi il numero degli alunni è $x= 20$.

Verifica sostituendo il dato trovato nella equazione:

$\frac{60}{x} = \frac{60}{x-5}-1$

$\frac{60}{20} = \frac{60}{20-5}-1$

$\frac{60}{20} = \frac{60}{15}-1$

$3 = 3$ 

eguaglianza verificata.

Allora se gli alunni fossero stati tutti presenti:

numero caramelle ciascuno $= \frac{60}{20} = 3$;

invece mancando 5 alunni:

numero caramelle ciascuno $= \frac{60}{15} = 4$ (infatti risulta una caramella in più).

COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO DEL PROBLEMA
"Da quanti bambini è composta la classe?" da x bambini.
"Quanti bambini sono presenti quel giorno?" x - 5 bambini.
"60 caramelle, da distribuire equamente" & "ciascuno 1 in più"
vogliono dire che
* sia x che x - 5 sono divisori naturali di sessanta
* 60/(x - 5) = 1 + 60/x
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RISOLUZIONE
Ci sono due possibili procedure risolutive.
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A) Metodo sintetico
A1) Elencare i dodici divisori naturali di sessanta
* {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
A2) Individuare le coppie che differiscono di cinque
* {1, 6}, {5, 10}, {10, 15}, {15, 20}
A3) Controllare se i quozienti di 60 differiscono di uno
* {1, 6} → {60, 10}, {5, 10} → {12, 6}, {10, 15} → {6, 4}, {15, 20} → {4, 3}
A4) Individuare la soluzione: x = 20
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B) Metodo analitico
B1) Ridurre l'equazione a "trinomio quadratico monico = 0"
* 60/(x - 5) = 1 + 60/x ≡
≡ 60*x = x*(x - 5) + 60*(x - 5) ≡
≡ x*(x - 5) + 60*(x - 5) - 60*x = 0 ≡
≡ x^2 - 5*x - 300 = 0
B2) Completare il quadrato dei termini variabili; sostituire, sviluppare, ridurre; esprimere il termine noto come opposto di un quadrato.
* x^2 - 5*x = (x - 5/2)^2 - (5/2)^2
* x^2 - 5*x - 300 = 0 ≡
≡ (x - 5/2)^2 - (5/2)^2 - 300 = 0 ≡
≡ (x - 5/2)^2 - 1225/4 = 0 ≡
≡ (x - 5/2)^2 - (35/2)^2 = 0
B3) Applicare prima il prodotto notevole "differenza di quadrati" e poi la legge d'annullamento del prodotto; ridurre; isolare la variabile.
* (x - 5/2)^2 - (35/2)^2 = 0 ≡
≡ (x - 5/2 + 35/2)*(x - 5/2 - 35/2) = 0 ≡
≡ (x + 15)*(x - 20) = 0 ≡
≡ (x = - 15) oppure (x = 20) ≡
≡ x = 20, perché il numero di scolari non è negativo.

Una maestra porta in classe 60 caramelle, da distribuire equamente tra i suoi n alunni tal che x = 60/n . Quel giorno però 5 sono assenti, per cui i presenti n-5  ne ricevono x+1  Da quanti bambini (n) è composta la classe? 

x = 60/n

60/(n-5) = x+1 

60 = (n-5)(60/n+1)

60 = 60+n-300/n-5 

5 = (n^2-300)/n 

n^2-300-5n = 0

n = (5+√5^2+4*300)/2 = (5+35)/2 = 20

verifica 

x = 60/20 = 3

60/(20-5) = 60/15 = 4 = x+1 ....OK !!!

I bambini sono n, n in N.

Hai la relazione

60/(n - 5) = 60/n + 1

moltiplico per n(n - 5)

60 n = 60 (n - 5) + n(n - 5)

0 = - 300 + n^2 - 5n

n^2 - 5n - 300 = 0

Prendendo solo la radice positiva e sperando che sia intera

n = (5 + sqrt (25 + 1200))/2 = (5 + 35)/2 = 20.