problema equazioni secondo grado

chiamato M il montante C(1+i) accumulato alla fine del primo anno , si ha :

11.000 = M*(i+1/100)+M 

11.000 = M(i+1,01) = C(1+i)(1,01+i)

11.000 = 10.000 (i+1,01+1,01i+i^2)

11.000/10.000 = 1,01+2,01i+i^2 

1,1-1,01-2,01i-i^2 = 0 

i = (2,01-√2,01^2+1*0,09*4)/-2,0 = 0,043821  (4,3821%)

verifica : 

M = 10.000*(1+0,043821) = 10.438,21 €

M*(1,01+ 0,043821) = 11.000 ,00€

@driver28

Ciao. Benvenuto/a

L'equazione risolvente è:

11000 = (10000·(1 + i))·(1 + (i + 1/100))

A secondo membro hai il montante alla fine del primo anno che costituirà il capitale iniziale del secondo anno. Il prodotto dei due fattori è quindi il montante del capitale depositato in banca alla fine del secondo anno.

Se risolvi l'equazione ottieni:

i = 0.04382076638 ∨ i = -2.053820766

Il saggio negativo lo devi scartare.

Quindi i=4.3821% è il saggio applicato dalla banca.

Verifica

Alla fine del primo anno:

10000·(1 + 0.04382076638)= 1.043820766·10^4 €

Alla fine del 2° anno:

1.043820766·10^4·(1 + 0.053821) = 1.1·10^4=11000€

Considerando il montante come composizione di due evoluzioni

ad interesse composto con tassi percentuali annui pari a x e x+1, puoi

scrivere la risolvente come

10000 ( 1 + x/100 ) ( 1 + (x+1)/100 ) = 11000

10000 ( 1 + (2x + 1)/100 + x(x+1)/10000 ) = 11000

10000 + 100 (2x + 1) + x(x + 1) - 11000 = 0

x^2 + x + 200x - 900 = 0

x^2 + 201 x - 900 = 0

x = (-201 + sqrt (40401 + 3600))/2 = 4.382

COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO DEL PROBLEMA
"qual è il tasso d'interesse del primo anno?" x% = x/100.
"qual è il tasso d'interesse del secondo anno?" (x + 1)% = (x + 1)/100.
Applicando due volte di fila il modello generale (C = capitale; M = montante)
* M = C*(1 + i/100)
si ha
* primo anno: M = 10000*(1 + x/100)
* complessivo: 11000 = (10000*(1 + x/100))*(1 + (x + 1)/100)
------------------------------
RISOLUZIONE
Non c'è procedura risolutiva con metodo sintetico.
---------------
B) Metodo analitico
B1) Ridurre l'equazione a "trinomio quadratico monico = 0"
* 11000 = (10000*(1 + x/100))*(1 + (x + 1)/100) ≡
≡ (10000*(1 + x/100))*(1 + (x + 1)/100) - 11000 = 0 ≡
≡ x^2 + 201*x - 900 = 0
B2) Completare il quadrato dei termini variabili; sostituire, sviluppare, ridurre; esprimere il termine noto come opposto di un quadrato.
* x^2 + 201*x = (x + 201/2)^2 - (201/2)^2
* x^2 + 201*x - 900 = 0 ≡
≡ (x + 201/2)^2 - (201/2)^2 - 900 = 0 ≡
≡ (x + 201/2)^2 - (3*√4889/2)^2 = 0
B3) Applicare prima il prodotto notevole "differenza di quadrati" e poi la legge d'annullamento del prodotto; ridurre; isolare la variabile.
* (x + 201/2)^2 - (3*√4889/2)^2 = 0 ≡
≡ (x - (- 201 - 3*√4889)/2)*(x - (- 201 + 3*√4889)/2) = 0 ≡
≡ (x = (- 201 - 3*√4889)/2 ~= - 205.38) oppure (x = (- 201 + 3*√4889)/2 ~= 4.38) ≡
≡ x = (- 201 + 3*√4889)/2 ~= 4.38, perché il il tasso non è negativo.

esiste un teorema, nella scienza delle finanze
m = c (1 + x) * (1 + (x + 0.01 ))
dove x e' il tasso per unita' di moneta (quindi gia' diviso per cento)

poi due ipotesi
ipotesi 1
c = 10000

ipotesi 2
m = 11000

mettendo a sistema le tre eq. otteniamo:
x = 0.0438207663848
cioe' 4.38% circa