Determina l'area della regione di piano colorata in figura, che è delimitata dall'ellisse di equazione $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ e dalla parabola con asse verticale avente vertice in $V$ e passante per i due vertici $A$ e $B$ dell'ellisse.
qualcuno che mi può aiutare ? Problemi con l’ellisse
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Livello 0
Ti devi ricordare:
a) la superficie dell'ellisse: A = pi·a·b
b) la superficie di un segmento parabolico
x^2/16 + y^2/9 = 1
semiassi:
a=4; b= 3
Quindi:
considera la semiellisse: y = 3·√(16 - x^2)/4
la sua superficie è la metà della completa: 1/2·pi·a·b = A/2
quindi: 1/2·pi·4·3= 6·pi
Il segmento parabolico ha area: Α = 2/3·(2·4)·3 = 16
Fai la differenza ed ottieni quanto richiesto:6·pi - 16
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Genius II
@lucianop quando hai fatto l’area del segmento parabolico il 2 per 4 dove l’hai preso ? non ho capito quel passaggio
ciao. 2*4=8 è la base del rettangolo , quindi 2*a; mentre 3 è l'altezza, cioè b. Dove a e b sono i semi assi dell'ellisse.
L'area del segmento parabolico è pari a 2/3 di quella del rettangolo circoscritto.
L'ellisse
* Γe ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con a > b > 0 ha area "Se" pigreco volte quella del rettangolo dei semiassi: Se = π*a*b (π/4 del rettangolo circoscritto).
Il segmento di parabola che ha per corda l'asse maggiore dell'ellisse e per vertice V(0, b) ha area "Sp" due terzi del rettangolo circoscritto: Sp = (2/3)*2*a*b.
La superficie colorata (i punti dell'ellisse con ordinata maggiore di quelli della parabola a pari ascissa) ha area "Sc" pari alla differenza fra la semiellisse e il segmento parabolico: Sc = Se/2 - Sp = π*a*b/2 - (4/3)*a*b = (3*π - 8)*a*b/6.
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Dall'ellisse data si ha (a, b) = (4, 3) e quindi
* Sc = (3*π - 8)*4*3/6 = 2*(3*π - 8) ~= 2.8495559 ~= 2.85
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Genius I
