[Risolto] Problema ellisse

Essendo i fuochi sull'asse y, ivi è l'asse maggiore => b²>a²

Un vertice è sull'asse x in posizione (3;0). L'altro per simmetria risulta essere nel punto (-3;0)

x²/a² + y²/b² = 1

Eccentricità

e= [radice (b²-a²)] /b

Un vertice e sull'asse x in posizione (3;0). Per simmetria l'altro è sull'asse x in posizione (-3;0) => a²=9

Imponendo la condizione sull'eccentricità si ricava:

(b² - a²) /b² = 1/2

2b² - 9 = b²

b²=18

L'equazione della conica è:

x²/9 + y²/18 = 1

Indichiamo con V(x;y) il vertice del rettangolo nel primo quadrante, (x;y>0) 

Determino il vertice appartenente al primo quadrante del rettangolo /rettangoli che soddisfano la condizione richiesta (perimetro = 20)

{x+y= 5  (un quarto del perimetro del quadrilatero) 

{x²/9 + y²/18 = 1 (il vertice appartiene alla conica) 

{x=5-y

{3y²-20y+32=0

yP= 4 => xP= 5-4=1   

V=(1;4)

Oppure 

yP= 8/3 => xP= 7/3

V=(7/3;8/3)

Esistono quindi due rettangoli inscritti di perimetro 20. 

La superficie dei due quadrilateri è:

A= 4*x*y = 4*1*4 = 16 

Oppure 

A= 4*x*y = 4*7/3*8/3 = 224/9