Buongiorno,qualcuno gentilmente potrebbe aiutarmi a risolvere il problema? Grazie mille per l'aiuto
All'interno di una distribuzione sferica omogenea di cariche, di raggio $R=9,2 \mathrm{~cm}$, il modulo del campo elettrico a distanza $r=4,1 \mathrm{~cm}$ dal centro è $E=7,9 \times 10^{+} \mathrm{N} / \mathrm{C}$; il campo elettrico è diretto verso la superficie della sfera.
- Calcola la carica totale della distribuzione di cariche.
23
punti
Livello 0
Il modo più semplice per ottenere il risultato richiesto è partire dal teorema di Gauss del campo elettrico (fatto?)
Il teorema dice che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica totale all'interno della superficie.
Sia r = 4,1 cm, R = 9,2 cm. La carica Q' all'interno della sfera di raggio r è direttamente proporzionale alla frazione di volume intercettata dalla superficie di flusso,
$ Q (\frac r R)^3 $
con Q carica complessiva della sfera. Il flusso sarà pari, per il teorema di Gauss, a
$ \frac {Q’}{\epsilon _0} $.
Poiché la sfera ha la stessa simmetria del campo elettrico, il flusso sarà comunque uguale, per definizione, al prodotto dell'intensità (uniforme) del campo elettrico per la superficie della sfera di flusso,
$ 4 \pi r^2 $
Uguagliando le due espressioni del flusso,
$ E \cdot 4 \pi r^2 = \frac Q {\epsilon _0 } \frac {r^3}{R^3} $
si ottiene
$ E = \frac 1 {4 \pi \epsilon _0 } \frac Q{R^3}r $
da cui si ricava la quantità Q di carica totale:
Q = $ 4 \pi \epsilon _0 E \frac {R^3 } r $
758
punti
Livello 2
All'interno di una distribuzione sferica omogenea di cariche, di raggio , il modulo del campo elettrico a distanza dal centro è ; il campo elettrico è diretto verso la superficie della sfera.
- Calcola la carica totale della distribuzione di cariche.
.............
quindi densità volumetrica di carica, in C/m³, nella sfera rho = Q / Vol(R) = Q/(4*pi*R³/3) ---> costante {una distribuzione sferica omogenea di cariche}
inoltre E è radiale e diretto verso l'esterno {lo è sulla superficie sferica di raggio r=4,1 cm ---> implica rho >0 ovvero carica positiva}
per tale simmetria sferica possiamo risolvere facilmente l'integrale di Gauss esteso alla superficie sferica di raggio r:
flusso uscente da S(r) di E = intg (esteso ad S(r))E scalar dS = E(r) * intg (esteso ad S(r)) dS = E(r)*S(r) = carica racchiusa in Vol(r) /eps0 = rho * Vol(r)/eps0
dove S(r) = 4pi*r² e Vol(r) =4*pi*r³/3 ... quindi
E(r) = rho * Vol(r)/(eps0*S(r)) = rho *(4*pi*r³/3)/(eps0* 4pi*r²) = rho *r/(3eps0)
vediamo che l'intensità E di E cresce linearmente con r ...
pertanto coi dati:
7.9×10^4 = rho*4.1 *10^-2 /(3*8.8542*10^-12)
rho≈0.0000511816 =~ 5.12*10^-5 C/m³= Q/(4*pi*R³/3)
e
Q = (4*pi*(9.2*10^-2)³/3)5.12*10^-5 =~1.67002... × 10^-7 C
... comunque ricontrolla!
5739
punti
Livello 5
