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[Risolto] Problema di trigonometria

  

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In un triangolo rettangolo $A B C$, non degenere, l'ipotenusa $A B$ misura $a$ e $B \widehat{A} C=x$. Costruisci, esternamente al triangolo $A B C$, il triangolo equilatero $A C D$ e risolvi i seguenti quesiti.
a. Determina l'espressione analitica della funzione $f(x)=\frac{\overline{A C}^{2}+\overline{B D}^{2}}{\overline{A B}^{2}}$.
b. Scrivi l'equazione della funzione nella forma $y=A \sin (2 x+\varphi)+B$ e tracciane il grafico in un intervallo di ampiezza uguale al suo periodo, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
c. Deduci per quale valore di $x$ il rapporto $\frac{\overline{A C}^{2}+\overline{B D}^{2}}{\overline{A B}^{2}}$ assume valore massimo.
d. Deduci per quale valore di $x$ risulta $\frac{\overline{A C}^{2}+\overline{B D}^{2}}{\overline{A B}^{2}}=2$.
$\left[\right.$ a. $f(x)=\sin ^{2} x+2 \cos ^{2} x+\sqrt{3} \sin x \cos x ;$ b. $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{3}{2} ;$ c. $x=\frac{\pi}{6} ;$ d. $\left.x=\frac{\pi}{3}\right]$

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Buonasera, non riesco a svolgere questo problema, qualcuno potrebbe aiutarmi?

grazie in anticipo 

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1 Risposta



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AC= a*cos(x) ; AC²= a²*cos²(x)

BC² = a²*sin²(x)

Determino il segmento DB applicando il teorema di Carnot al triangolo DCB.

L'angolo in C= 90+60 = 150°

 

DB² = a²*sin²x + a²*cos²x - 2*a²*sinx * cosx * ( - radice (3)/2) =

       = a² + a² * radice (3) * sin x * cos x

 

Quindi la funzione f(x) risulta essere:

 

f(x) = 1+cos²x + radice (3)*sinx * cos(x) =

       = sin²x + 2*cos²x + radice (3)*sin x * cos x

 

Domanda b) 

Possiamo riscrivere la funzione f(x) nella forma richiesta, ricordando che:

sin(a+b) = sin a * cos b + cos a * sin b

sin 2x = 2*sin x * cos x 

cos 2x = 2*cos² x - 1

Quindi:

 

f(x) = [(2*cos²x - 1)/2 + rad (3)/2 * sin 2x] + 3/2 =

        = 1/2* cos(2x) + rad(3)/2 * sin(2x) + 3/2 =

        = sin(2x + 30) + 3/2

 

Domanda C)

La funzione f(x) assume valore massimo quando:

sin(2x+30) = 1 ==> 2x+30 = 90 ==> x=30°

 

Domanda D) 

La frazione richiesta vale 2 se:

sin(2x + 30) = 2 - 3/2 = 1/2

 

Da cui si ricava:

 

(2x+30) = 30°  ==>

x=0 Non accettabile. Triangolo rettangolo degenere 

 

Oppure:

(2x+30) = 180 - 30 = 150°

x= 60°

 

 

@stefanopescetto 👍👍👍

@stefanopescetto Buongiorno, scusi per il disturbo, riuscirebbe a spiegarmi come ha fatto a togliere sin²x nel punto B, per favore?

@stefanopescetto salve a distanza di un'anno anche io ho avuto lo stesso problema, una cosa se fosse possibile sapere la rappresentazione dei due triangoli perché proprio non riesco a capire come rappresentarli



Risposta
SOS Matematica

4.6
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