Del triangolo ABC si sa che AC = 1, cos BAC = 3/5, cos ACB = -1/3
a. Determina perimetro e area del triangolo.
b. Se invece dei coseni i valori assegnati rappresentassero i seni dei due angoli, il problema avrebbe soluzione?
c. Risolvi il problema proposto in b nel caso in cui: AC = 1, sin BAC = 1/2, sin ACB = √2/2.
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Livello 0
COS(α) = 3/5----> SIN(α) = 4/5
COS(γ) = - 1/3----> SIN(γ) = √(1 - (- 1/3)^2)
quindi: SIN(γ) = 2·√2/3
SIN(β) = SIN(pi - (α + γ)) ----> SIN(β) = SIN(α + γ)
SIN(β) = SIN(α)·COS(γ) + SIN(γ)·COS(α)
SIN(β) = 4/5·(- 1/3) + 2·√2/3·(3/5)
SIN(β) = 2·√2/5 - 4/15
Con convenzioni note per i triangoli sfruttiamo il teorema dei seni:
c/SIN(γ) = b/SIN(β) = a/SIN(α)
Quindi vale la relazione:
c/(2·√2/3) = 1/(2·√2/5 - 4/15) = a/(4/5)
(equivalente ad un sistema) che risolta fornisce:
a = 9·√2/7 + 6/7 ∧ c = 5·√2/7 + 15/7
Quindi calcoliamo il perimetro:
2·p = a + b + c = (9·√2/7 + 6/7) + 1 + (5·√2/7 + 15/7)
2·p = 2·√2 + 4
e l'area:
Α = 1/2·b·c·SIN(α)
Α = 1/2·1·(5·√2/7 + 15/7)·(4/5)
Α = 2·√2/7 + 6/7-----> Α = (2·√2 + 6)/7
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b) il problema sarebbe impossibile in quanto il seno di un angolo risultando negativo corrisponderebbe ad un angolo superiore a pi.
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Per il punto c) si procede come fatto in precedenza.
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Genius II
