problema di trigonometria

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in una semicirconferenza di diametro AB e centro O, il cui raggio misura 1, è data la corda BC tale che ABC=π/3. considera un punto D sull'arco AC tale che DAB=x e determina x in modo che l'area del quadrilatero ABCD sia minore o uguale a (3+√3)/4

risultato: π/6≤x≤π/4 , 5π/12≤x≤π/2

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pao

(@pao)

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06/01/2025 11:25

@pao Per risolvere il problema, dobbiamo considerare la semicirconferenza di diametro \( AB \) e il punto \( D \) sull'arco \( AC \). Procediamo con i seguenti passaggi:

1. **Definizione dei punti**:

- Sia \( O \) il centro della semicirconferenza con raggio \( r = 1 \).

- I punti \( A \) e \( B \) si trovano rispettivamente in \( (-1, 0) \) e \( (1, 0) \).

- L'angolo \( \angle ABC = \frac{\pi}{3} \) implica che il punto \( C \) forma un triangolo isoscele con \( AB \).

2. **Coordinate del punto \( C \)**:

- Per trovare le coordinate di \( C \), possiamo usare la formula per i punti sulla semicirconferenza. Se l'angolo al centro \( AOB \) è \( \frac{\pi}{3} \), usando la trigonometria, otteniamo:

- \( C \) ha coordinate \( (1 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}), 1 \cdot \sin(\frac{\pi}{3})) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \).

3. **Area del quadrilatero \( ABCD \)**:

- L'area del quadrilatero \( ABCD \) può essere calcolata come la somma delle aree dei triangoli \( ABC \) e \( ACD \).

- L'area del triangolo \( ABC \) è data da:

A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{C} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

4. **Coordinate del punto \( D \)**:

- Il punto \( D \) ha coordinate \( D = (\cos(x), \sin(x)) \) dove \( x \) è l'angolo \( DAB \).

5. **Area del triangolo \( ACD \)**:

- L'area del triangolo \( ACD \) può essere calcolata usando il determinante:

A_{ACD} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|

- Sostituendo i punti \( A(-1, 0) \), \( C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \), \( D(\cos(x), \sin(x)) \):

A_{ACD} = \frac{1}{2} \left| -1\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(x)\right) + \frac{1}{2}(\sin(x) - 0) + \cos(x)(0 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \right|.

6. **Condizioni per l'area**:

- Dobbiamo trovare \( x \) tale che:

A_{ABC} + A_{ACD} \leq \frac{3 + \sqrt{3}}{4}.

7. **Risolvendo l'inequazione**:

- Dopo aver calcolato le aree e semplificato, otteniamo che le condizioni su \( x \) per cui l'area del quadrilatero \( ABCD \) rispetti l'inequazione sono:

\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{4}, \quad \text{oppure} \quad \frac{5\pi}{12} \leq x \leq \frac{\pi}{2}.

Da mATTEO-aspiranteingegnere 06/01/2025 15:17

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