Problema di ottimizzazione

@omnisang

Le due funzioni non hanno punti comuni. Imponendo infatti la condizione:

4x² + 1 = (1/3)*x² - x 

si ottiene:

11x² + 3x + 3= 0

Essendo D<0 non esistono soluzioni reali 

Da cui si ricava:

X0 = (1/4)*radice (7/11) = radice (77) / 44

oppure 

X0 = - (1/4)*radice (7/11) = - radice (77) / 44

Sulle due parabole
* Γ1 ≡ y = 4*x^2 + 1 (vertice V1(0, 1), apertura a1 = 4)
* Γ2 ≡ y = x^2/3 - x = (x - 3/2)^2/3 - 3/4 (con V2(3/2, - 3/4), a2 = 1/3)
sono poste diverse consegne.
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A) Rappresentare le due Γ
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D4*x%5E2%2B1%2Cy%3Dx%5E2%2F3-x%5Dx%3D-22to22
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-3%2F4%2Cy%3D4*x%5E2%2B1%2Cy%3Dx%5E2%2F3-x%5Dx%3D-1to2%2Cy%3D-1to2
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B) Verificare l'assenza di punti comuni fra le due Γ
Il vertice di Γ1 (lunghezza focale f1 = 1/4) cade nella concavità di Γ2 (lunghezza focale f2 = 3): è impossibile che abbiano punti comuni.
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C) Determinare le condizioni di parallelismo fra le tangenti delle due Γ
* pendenza di Γ1: m1(x) = d/dx 4*x^2 + 1 = 8*x
* pendenza di Γ2: m2(x) = d/dx x^2/3 - x = 2*x/3 - 1
Le tangenti delle due Γ sono parallele su punti in cui siano eguali le rispettive pendenze.
Sulla stessa ascissa si ha solo una coppia di punti
* 2*x/3 - 1 = 8*x ≡ x = - 3/22
invece sui punti P(k, 4*k^2 + 1) ed R(h, h^2/3 - h) si hanno tangenti parallele se e solo se per i punti corrispondenti si ha
* 8*k = 2*h/3 - 1 ≡ h = 12*k + 3/2
cioè per
* P(k, 4*k^2 + 1) ed R(12*k + 3/2, 48*k^2 - 3/4)
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D) Determinare P tale che il corrispondente R ne abbia la minima distanza verticale
La distanza verticale
* |yP - yR| = |4*k^2 + 1 - (48*k^2 - 3/4)| = |44*k^2 - 7/4|
è minima per
* 44*k^2 - 7/4 = 0 ≡ k = xP = ± √77/44
che è proprio il risultato atteso.