[Risolto] Problema di Matematica

CB^2+CA^2=AB^2

CB^2=(1-9)^2+(k+1)^2=k^2+2k+65

CA^2=(1-3)^2+(k-7)^2=k^2-14k+53

AB^2=(9-3)^2+(-1-7)^2=100

–>k^2+2k+65+k^2-14k+53=100

–>2k^2-12k+18=0

–>k^2-6k+9=0

–>(k-3)^2=0

k=+3

AB= radice (36+64) = 10

In un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa (CM) è metà di quest'ultima (AB). La mediana è il raggio della circonferenza circoscritta. AB il diametro. 

Punto medio di AB è M=(6;3)

Imponendo la condizione CM= 5 si ricava il valore del parametro k

(6-1)² + (k-3)² = 25

(k-3)²=0

K=3

Il triangolo ABC, rettangolo in C, di vertici
* A(3, 7), B(9,- 1), C(1, k)
ha lati
* c = |AB| = 10 = ipotenusa
* b = |AC| = √((k - 7)^2 + 4) = cateto
* a = |BC| = √((k + 1)^2 + 64) = cateto
ed area, calcolata con Gauss, che dev'essere il semiprodotto dei cateti
* S = |29 - 3*k| = √(((k - 7)^2 + 4)*((k + 1)^2 + 64))/2 ≡
≡ 4*(29 - 3*k)^2 = ((k - 7)^2 + 4)*((k + 1)^2 + 64) ≡
≡ 4*(29 - 3*k)^2 - ((k - 7)^2 + 4)*((k + 1)^2 + 64) = 0 ≡
≡ - (k - 3)^4 = 0 ≡
≡ k = 3
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%283%2C7%29%289%2C-1%29%281%2C3%29