[Risolto] Problema di matematica

Vogliamo che:

$2 AM^2+3AB^2=4BM^2+2MO^2$

Notiamo subito che di questa equazione sappiamo che:

$AB=2r$

e anche che, essendo raggio,

$MO = r$

Dunque ci resta da determinare AM e BM in funzione dell'angolo BAM=x.

Ricorda che un triangolo inscritto in una semicirconferenza (dunque con un lato coincidente con il diametro) è sempre un triangolo rettangolo per i teoremi sugli angoli al centro e alla circonferenza. Quindi AMB è un triangolo rettangolo con M angolo retto e AB=2r ipotenusa.

Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli, possiamo trovare il cateto AM, adiacente all'angolo x, come:

$AM = AB cos(x) = 2r cos(x)$

Analogamente il cateto opposto BM è dato da:

$BM = AB sin(x)= 2r sin(x)$

Mettiamo ora tutto insieme, sostituendo i segmenti trovati:

$2 AM^2+3AB^2=4BM^2+2MO^2$

$2 (2rcosx)^2 +3 (2r)^2 = 4(2rsinx)^2 +2(r)^2$

e svolgendo i calcoli:

$8 r^2 cos^2 x + 12 r^2 = 16 r^2 sin^2 x + 2r^2$

Possiamo dividere tutti i termini per $r^2$:

$8 cos^2x +12 = 16 sin^2 x +2$

e dunque portando tutto a primo membro:

$8 cos^2 x -16 sin^2 x +10 = 0$

Per risolvere questa equazione goniometrica, scriviamo tutto in funzione del coseno trasformando il seno in coseno attraverso la prima formula fondamentale di trigonometria (sin^2x + cos^2x =1):

$8cos^2x -16(1-cos^2x)+10 = 0$

e dunque svolgendo i calcoli:

$8cos^2x - 16 + 16 cos^2x +10 = 0$

$24 cos^2x -6 = 0$

$cos^2x = 6/24$

$cos^2x = 1/4$

E facendo la radice ad ambo i membri:

$cos x = \pm 1/2$

Notiamo che il coseno è negativo nel 2 e 3 quadrante, dunque per angoli compresi tra 90° e 270°. Ma essendo x l'angolo interno di un triangolo rettangolo, di certo non può essere maggiore di 90°. Questo ci porta ad escludere la soluzione -1/2 e a considerare solo il caso

$ cosx = 1/2$

che ci dà come soluzioni:

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$

Considerando di nuovo le restrizioni geometriche del problema, l'unica soluzione accettabile è :

$ x = \frac{\pi}{3}$

Noemi