Considera la parabola di equazione $y=x^2-k^2$, con $k>0$. Determina $k$ in modo che l'area del segmento parabolico limitato dalla parabola e dall'asse $x$ sia 36 . Determina poi i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico di perimetro massimo.
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[k=3 ;(1,-8),(1,0),(-1,-8),(-1,0)]
$$
Grazie mille per l'aiuto!!!!
26
punti
Livello 0
Indichiamo con XA, XB le intersezioni della parabola [simmetrica rispetto all'asse y; V(0; - k²)] con l'asse x
xA= (-k;0)
xB= (k;0)
L'area del segmento parabolico :
A= (1/6)*|a|*(xB-xA)³
Imponendo la condizione richiesta si ricava:
(1/6)*1*(2k)³ = 36
k³ = 27
k=3
La parabola ha quindi equazione: y=x² - 9
Indichiamo con k (k>0) l'ascissa del vertice del rettangolo inscritto.
Le dimensioni del rettangolo sono:
d1= 2k
d2= 0-(k² - 9) = 9-k²
Due vertici sono infatti sull'asse x ed hanno coordinate:
V1=( - k;0)
V2=(k ;0)
Due vertici appartengono alla parabola ed hanno coordinate
V3=(-k; k²-9)
V4=(k ;k²-9)
Imponendo la condizione richiesta (semiperimetro massimo) si ricava:
p(k) = d1+d2 = - k²+2k+9
p'(k) = - 2k + 2 ; p'(k) = 0 => k=1
p'(k)>=0 => k<=1
Quindi abbiamo un punto di massimo per k=1
Sostituendo il valore k=1 nelle coordinate dei vertici del rettangolo si ricava:
V1=(-1;0)
V2=(1;0)
V3=(-1; - 8)
V4=(1;8)
76643
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Genius II
@stefanopescetto grazie mille!
Di nulla. Buona serata
