[Risolto] Problema di matematica

Prima di affrontare la risposta a una domanda basata sui presupposti che un centro esista e che sia quello di un'ellisse sarebbe stato corretto sapere se i presupposti fossero veri.
Le osservazioni e i calcoli da fare sono gli stessi, ma avrei preferito leggere un testo che non desse nulla per scontato; ad esempio una formulazione come segue.
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Determinare le proprietà geometriche della conica Γ di equazione
* Γ ≡ p(x, y) = x^2 + 4*y^2 + 2*x - 3 = 0
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A) Osservazioni sulla forma
A1) Il polinomio p(x, y) è irriducibile: Γ non è degenere.
A2) I termini di grado due (x^2 + 4*y^2) non sono un quadrato di binomio: Γ non è parabola.
A3) Una conica né degenere né parabola è ellisse o iperbole: Γ ha il centro,
A4) Manca il termine rettangolare (x*y): Γ non è ruotata, ha assi di simmetria paralleli a quelli coordinati.
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B) Calcoli
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B1) Completare il quadrato dei termini in x.
* Γ ≡ x^2 + 4*y^2 + 2*x - 3 = 0 ≡
≡ x^2 + 2*x + 4*y^2 - 3 = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 - 1 + 4*y^2 - 3 = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 + 4*y^2 - 4 = 0
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B2) Operazioni membro a membro: sottrarre il termine noto; dividere per il secondo membro.
* Γ ≡ x^2 + 4*y^2 + 2*x - 3 = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 + 4*y^2 - 4 = 0 ≡
≡ (x + 1)^2 + 4*y^2 = 4 ≡
≡ (x + 1)^2/4 + y^2 = 1
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B3) Riconoscere la forma normale standard
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
dell'ellisse con
* semiassi (a, b)
* centro C(α, β).
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C) CONCLUSIONE
La conica Γ di equazione
* Γ ≡ p(x, y) = x^2 + 4*y^2 + 2*x - 3 = 0
è risultata essere un'ellisse con:
* assi di simmetria paralleli a quelli coordinati;
* semiassi (a, b) = (2, 1);
* centro C(- 1, 0);
* forma normale standard
** Γ ≡ ((x + 1)/2)^2 + ((y - 0)/1)^2 = 1 ≡ (x + 1)^2/4 + y^2 = 1.
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Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+x%5E2%2B4*y%5E2%2B2*x-3%3D0

Ciao.

Dato che non è presente alcun termine del tipo $ky$ significa che la traslazione lungo $y$ è $0$.

Quindi dobbiamo trovare solo quella lungo $x$. L'equazione dell'ellisse traslata in forma canonica in questo caso è:

$\frac{(x-x_C)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

che diventa:

$x^2-2x_C x+x_C^2+\frac{a^2}{b^2}y^2=a^2$

confrontando con l'equazione data deve necessariamente succedere che:

$-2x_C x=2x$ da cui $x_C=-1$

Per completezza controlliamo:

$\frac{a^2}{b^2}=4$ e $x_C^2-a^2=-3$

dalla seconda si ricava $a^2=4$ e quindi dalla prima $b^2=1$

sostituendo si trova in effetti l'equazione data.

Quindi il centro della nuova ellisse è

$C(-1,0)$