I quesiti b, c, d, sembrano i soliti esercizietti di calcolo, mentre il quesito a ha l'aria d'essere intricatuccio.
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Esso chiede una definizione per distinzione di casi, per scrivere la quale si devono identificare due parabole Γ1 e Γ2, entrambe con alcune proprietà comuni:
asse di simmetria parallelo all'asse y, apertura a > 0 (concavità rivolta verso y > 0), vertice V(w, h) con h > 0, passaggio per A(0, 2), equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
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Sono invece proprietà distinte:
* Γ1 ha w < 0, Γ2 ha w > 0;
* Γ1 passa per C(- 3, 5), Γ2 passa per D(8, 2);
* in A(0, 2) Γ1 ha pendenza m > 0, Γ2 ha pendenza m' = - 1/m < 0.
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) espressione analitica della funzione
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a1) pendenze in A
Il segmento di estremi A(0, 2) e B(- 1, 0) giace sulla retta AB di pendenza m = 2.
* t1 ≡ r(2) ≡ y = 2*(x + 1)
* t2 ≡ r(- 1/2) ≡ y = - (x + 1)/2
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a2a) parabola Γ1
* (2 = h + a*(0 - w)^2) & (5 = h + a*(- 3 - w)^2) & (2 = 2*a*(0 - w)) & (a > 0) & (h > 0) & (w < 0) ≡
≡ (a = 1) & (h = 1) & (w = - 1)
* Γ1 ≡ y = 1 + (x + 1)^2
* m(x) = 2*(x + 1)
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a2b) parabola Γ2
* (2 = h + a*(0 - w)^2) & (2 = h + a*(8 - w)^2) & (- 1/2 = 2*a*(0 - w)) & (a > 0) & (h > 0) & (w > 0) ≡
≡ (a = 1/16) & (h = 1) & (w = 4)
* Γ2 ≡ y = 1 + (x - 4)^2/16
* m(x) = (x - 4)/8
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a3) espressione analitica della distinzione di casi.
* y = f(x) ≡ (x <= 0) ∩ (y = 1 + (x + 1)^2) ∪ (x >= 0) ∩ (y = 1 + (x - 4)^2/16)
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a4) http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3Dpiecewise%5B%7B%7B1--%28x--1%29%5E2%2Cx%3C%3D0%7D%2C%7B1--%28x-4%29%5E2%2F16%2Cx%3E%3D0%7D%7D%5D%5D
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b) Ogni parabola con asse parallelo all'asse y ha un unico punto stazionario nel vertice.
Quindi y = f(x) ne ha due in V1(- 1, 1) e in V(4, 1), allineati sulla y = 1.
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c) Gli eventuali punti che, oltre ad A, presentino pendenza m ∈ {- 1/2, 2} sono soluzioni dei sistemi
* (- 1/2 = 2*(x + 1)) & (y = 1 + (x + 1)^2) & (x < 0) ≡ (- 5/4, 17/16)
* (2 = 2*(x + 1)) & (y = 1 + (x + 1)^2) & (x < 0) ≡ nessuno
* (- 1/2 = (x - 4)/8) & (y = 1 + (x - 4)^2/16) & (x > 0) ≡ nessuno
* (2 = (x - 4)/8) & (y = 1 + (x - 4)^2/16) & (x > 0) ≡ (20, 17)
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d) Sembra una domanda scema, ma potrebbe avere sensi nascosti che la mia vecchiaia non rileva.
La funzione
* y = f(x) ≡ (x <= 0) ∩ (y = 1 + (x + 1)^2) ∪ (x >= 0) ∩ (y = 1 + (x - 4)^2/16)
tranne per il punto angoloso nell'origine, consiste di due rami parabolici: quindi a pendenza lineare e a curvatura costante; essendo entrambi i rami parabolici è ovvio che f''(x) sia definita quasi ovunque tranne che nel punto angoloso; essendo entrambi i rami concavi verso y > 0 è ovvio che f''(x) abbia segno costante.
* f''(x) ≡ (x < 0) ∩ (y'' = 2) ∪ (x > 0) ∩ (y'' = 1/6)
