problema di matematica

L'equazione
* Γ(k) ≡ x^2/(k + 6) + y^2/(1 - k) = 1
rappresenta un'ellisse se e solo se
* (k + 6 > 0) & (1 - k > 0) ≡ - 6 < k < 1
con tale restrizione, si fa sistema fra Γ(k) e la retta
* t ≡ y = - 2*x + 4 ≡ y = 2*(2 - x)
scrivendo
* (y = 2*(2 - x)) & (x^2/(k + 6) + y^2/(1 - k) = 1) & (- 6 < k < 1) ≡
≡ (y = 2*(2 - x)) & (x^2/(k + 6) + (2*(2 - x))^2/(1 - k) = 1) & (- 6 < k < 1)
la cui risolvente
* x^2/(k + 6) + (2*(2 - x))^2/(1 - k) - 1 = 0 ≡
≡ (3*k + 25)*x^2 - 16*(k + 6)*x + (k^2 + 21*k + 90) = 0
ha discriminante
* Δ(k) = - 12*(k^3 + 8*k^2 + 9*k - 18) =
= - 12*(k + 6)*(k + 3)*(k - 1)
che, per la tangenza, deve azzerarsi nel rispetto della condizione restrittiva
* ((k + 6)*(k + 3)*(k - 1) = 0) & (- 6 < k < 1) ≡ k = - 3
da cui l'equazione
* Γ(- 3) ≡ x^2/3 + y^2/4 = 1
e la verifica grafico-analitica al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*%282-x%29%2Cx%5E2%2F3%3D1-y%5E2%2F4%5D

x^2/(k + 6) + y^2/(1 - k) = 1

Per essere un'ellisse reale si deve avere:

{k + 6 > 0

{1 - k > 0

quindi: [-6 < k < 1]

facciamo quindi:

{x^2/(k + 6) + y^2/(1 - k) = 1

{y = - 2·x + 4

per sostituzione:

x^2/(k + 6) + (- 2·x + 4)^2/(1 - k) = 1

(x^2·(3·k + 25) - 16·x·(k + 6) + 16·(k + 6))/((1 - k)·(k + 6)) = 1

x^2·(3·k + 25) - 16·x·(k + 6) + (16·(k + 6) - (1 - k)·(k + 6)) = 0

x^2·(3·k + 25) - 16·x·(k + 6) + (k + 6)·(k + 15) = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(- 8·(k + 6))^2 - (3·k + 25)·(k + 6)·(k + 15) = 0

- 3·k^3 - 24·k^2 - 27·k + 54 = 0

risolvendo si ottiene:

k = -6 ∨ k = -3 ∨ k = 1

Di cui la sola accettabile, per quanto detto all'inizio è: k = -3

per cui si ha:

x^2/3 + y^2/4 = 1