Problema di massimo e minimo

Il problema é elementare, può essere risolto senza le derivate.

Il punto P ha coordinate (x, -x^2 + 4x)

L'equazione della retta é x - y + 4 = 0

d (x) = |x - (-x^2 + 4x) + 4|/sqrt (1 + 1)

|x + x^2 - 4x + 4|/sqrt(2) = min

|x^2 - 3x + 4| = min

|x^2 - 3x + 9/4 + 7/4| = min

(x - 3/2)^2 + 7/4 = min

somma di quadrati

é minima quando x - 3/2 = 0 => x = 3/2

Pertanto il punto P é (3/2; -9/4 + 6) = (3/2; 15/4)

e la distanza minima é 7/(4 rad 2) = 7/8 rad 2

Il punto di distanza minima della parabola dalla retta data, si trova sulla retta tangente parallela alla retta data.

Quindi:

y = - x^2 + 4·x  parabola

y = x + 4  retta data

y = x + c retta parallela alla data

{y = - x^2 + 4·x

{y = x + c

sostituzione: x + c = - x^2 + 4·x

x + c + x^2 - 4·x = 0----> x^2 - 3·x + c = 0

Δ = 0 condizione di tangenza

(-3)^2 - 4·c = 0---> 9 - 4·c = 0--> c = 9/4

Punto di tangenza:

x^2 - 3·x + 9/4 = 0---> (2·x - 3)^2/4 = 0--> x = 3/2

y = x + 9/4 retta tangente alla parabola

y = 3/2 + 9/4---> y = 15/4

[3/2, 15/4] è il punto cercato