[Risolto] Problema di goniometria.

Si risolve applicando qualche formula presa dalle varie Tavole delle Identità.
* seno in termini di tangente: sin(arctg(k)) = k/√(k^2 + 1)
* coseno in termini di tangente: cos(arctg(k)) = 1/√(k^2 + 1)
* seno dell'arco doppio: sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x)
* coseno dell'arco doppio: cos(2*x) = cos^2(x) - sin^2(x)
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Dal grafico si ha
* 0 < 2*α = π/2 - arctg(7/24) = arctg(24/7) < π/2
quindi
* sin(2*α) = sin(arctg(24/7)) = (24/7)/√((24/7)^2 + 1) = 24/25 = 2*sin(α)*cos(α)
* cos(2*α) = cos(arctg(24/7)) = 1/√((24/7)^2 + 1) = 7/25 = cos^2(α) - sin^2(α)
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Con
* le sostituzioni {x = sin(α), y = cos(α)}
* i vincoli {x^2 + y^2 = 1, 0 < x < 1, 0 < x < 1}
si ha
* (2*sin(α)*cos(α) = 24/25) & (cos^2(α) - sin^2(α) = 7/25) ≡
≡ (x*y = 12/25) & (y^2 - x^2 = 7/25) ≡
≡ (x = - 3/5) & (y = - 4/5) oppure (x = 3/5) & (y = 4/5)
e pertanto si tratta solo di scegliere, fra le intersezioni reali delle due iperboli, quella con coordinate in (0, 1) e di verificare che cada sulla circonferenza goniometrica
* (3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 1
Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5B%7Bx*y%3D12%2F25%2Cy%5E2-x%5E2%3D7%2F25%2Cx%5E2%2By%5E2%3D1%7D%2C%7Bx%2C-5%2C5%7D%2C%7By%2C-5%2C5%7D%5D
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Essendo sulla circonferenza goniometrica sono le coordinate, per definizione, i richiesti valori delle funzioni
* (sin(α) = 3/5) & (cos(α) = 4/5)

TAN(β) = 7/24

TAN(2·α) = 24/7

TAN(2·α) = 2·TAN(α)/(1 - TAN(α)^2)

TAN(α) = x

24/7 = 2·x/(1 - x^2) risolvo: x = 3/4 ∨ x = - 4/3 scarto la negativa: TAN(α) = 3/4

SIN(α)/√(1 - SIN(α)^2) = 3/4

t/√(1 - t^2) = 3/4  risolvo: t = 3/5-------> SIN(α) = 3/5

COS(α) = √(1 - (3/5)^2)------> COS(α) = 4/5

Beta + 2alfa = 90°;

sono angoli complementari si scambiano seno e coseno.

sen(2alfa) = cos(beta);

cos(2alfa) = sen(beta);

tan(beta) = sen(beta) / cos(beta);

tan(2alfa) = sen(2alfa) /cos(2alfa) = cos(beta) / sen(beta);

tan(2alfa) = 24/7;

tan(2alfa) = 2 * tan(alfa) / [1 - (tan alfa)^2];

2 * tan(alfa) / [1 - (tan alfa)^2] = 24/7,

Poi segui le spiegazioni e i passaggi di LucianoP  @lucianop