problema di geometria terza media

Ogni misura in cm e cm^2.
Approssimo π ~= 355/113.
---------------
L'area S della corona circolare delimitata da circonferenze di raggi r < R è la differenza fra quelle dei rispettivi cerchi
* S = π*(R + r)*(R - r)
---------------
"la circonferenza che ... 120 cm" vuol dire R = 60, cioè
* S = π*(60 + r)*(60 - r)
---------------
Il rombo, come ogni poligono circoscrittibile, presenta un incentro equidistante dai lati e tale comune distanza è l'inraggio r.
Poiché l'incentro è vertice comune dei triangoli, ciascuno con base un lato, che partizionano la superficie del poligono e poiché ciascuno di essi ha l'inraggio per altezza relativa al lato di base, allora l'area A del poligono intesa come somma di quelle delle partizioni è il semiprodotto fra l'inraggio r e il perimetro p
* A = p*r/2
da cui
* r = 2*A/p
* S = π*(60 + 2*A/p)*(60 - 2*A/p)
---------------
"il lato del rombo misura 75 cm" vuol dire p = 4*75 = 300, cioè
* S = π*(60 + A/150)*(60 - A/150)
---------------
Resta da trovare solo l'area A = d*D/2 del rombo che è il quadruplo di quella dei triangoli rettangoli congruenti separati dalle diagonali e che hanno per ipotenusa il lato L e per cateti le semidiagonali (d/2, D/2).
Con i dati già visti
* D/2 = R = 60
* L = 75
si ha
* d/2 = √(L^2 - (D/2)^2) = √(75^2 - 60^2) = 45
* d = 90
* A = 90*60 = 5400
* S = π*(60 + 5400/150)*(60 - 5400/150) ~=
~= (355/113)*(60 + 36)*(60 - 36) =
= 817920/113 ~= 7238.23

Una corona circolare è compresa fra la circonferenza che ha per diametro la diagonale maggiore AC di un rombo lunga 120 cm e la circonferenza inscritta nel rombo di raggio r ;  il lato del rombo AB misura 75 cm . Calcola l'area Ac della corona circolare.

cominciamo col trovare r ; r è l'altezza del triangolo AOB di cui il lato AB è la base , ma serve l'area di AOB per trovar la quale occorre conoscere la semi-diagonale minore BO. BO si trova con Pitagora applicato a lato AB e semi-diagonale maggiore AO

BO = √AB^2-AO^2 = √75^2-60^2 = 15√5^2-4^2 = 15*3 =  45 cm

raggio r = AO*BO/AB = 60*45/75 = 60*3/5 = 36 cm

calcolo area AC della corona circolare :

raggio R del cerchio esterno  = AO = AC/2 = 120/2 = 60 cm 

raggio del cerchio interno r = 36 cm 

AC = π*(R^2-r^2) = 3,1416*6^2*(10^2-6^2) = 3,1416*36*64 = 7.238,2 cm^2

Rombo:

semi-diagonale maggiore $\frac{D}{2}=\frac{120}{2}= 60~cm$;

semi-diagonale minore $\frac{d}{2}=\sqrt{75^2-60^2}=45~cm$ (teorema di Pitagora);

apotema $ap= \frac{60×45}{75}=36~cm$.

Corona circolare:

raggio del cerchio esterno $R= \frac{120}{2}=60~cm$;

raggio del cerchio interno = apotema del rombo $r= 36~cm$;

 area $A_c= (R^2-r^2)π = (60^2-36^2)π=2304π~cm^2$ $(≅ 7238,23~cm^2)$.