[Risolto] Problema di geometria sulla corda

ΑΡ^2 + ΒΡ^2 = 564 cm^2

α = pi/6

0 < β < pi/3

Th SENI:

ΑΡ/SIN(β) = ΒΡ/SIN(α) = ΑΒ/SIN(γ)

ΑΡ/SIN(β) = ΒΡ/SIN(pi/6) = 30/SIN(γ)

SIN(γ) = SIN(pi - (α + β))-----> SIN(γ) = SIN(pi/6 + β)

ΑΡ = 30·SIN(β)/SIN(pi/6 + β)

ΒΡ = 30·SIN(pi/6)/SIN(pi/6 + β)

quindi:

(30·SIN(β)/SIN(β + pi/6))^2 + (15/SIN(β + pi/6))^2 = 564

900·SIN(β)^2/SIN(β + pi/6)^2 + 225/SIN(β + pi/6)^2 = 564

SIN(β + pi/6) = SIN(β)·COS(pi/6) + SIN(pi/6)·COS(β)=

=COS(β)/2 + √3·SIN(β)/2

(COS(β)/2 + √3·SIN(β)/2)^2 = √3·SIN(β)·COS(β)/2 + SIN(β)^2/2 + 1/4

Pongo:

{SIN(β) = Υ

{COS(β) = Χ

Quindi risolvo il sistema:

{900·Υ^2 + 225 = 564·(√3/2·Υ·Χ + Υ^2/2 + 1/4)

{Υ^2 + Χ^2 = 1

dalla prima ottengo:

900·Υ^2 + 225 = 282·Υ^2 + 282·√3·Υ·Χ + 141

900·Υ^2 + 225 - (282·Υ^2 + 282·√3·Υ·Χ + 141) = 0

6·(103·Υ^2 - 47·√3·Υ·Χ + 14) = 0

Quindi il sistema:

{103·Υ^2 - 47·√3·Υ·Χ + 14 = 0

{Υ^2 + Χ^2 = 1

che fornisce 4 soluzioni di cui solo due da considerare:

Υ = 2·√31/31 ∧ Χ = 3·√93/31 ; Υ = 7·√139/278 ∧ Χ = 13·√417/278

Con la prima:

Υ = 2·√31/31 ∧ Χ = 3·√93/31

SIN(β + pi/6) = COS(β)/2 + √3·SIN(β)/2 =

 = 3·√93/31/2 + √3·(2·√31/31)/2 = 5·√93/62

ΑΡ = 30·2·√31/31/(5·√93/62)-----> ΑΡ = 8·√3

analogamente con la seconda ottieni ΑΡ = 7·√3