Due circonferenze congruenti $\gamma_1$ e $\gamma_2$, di centri $O_1$ e $O_2$, sono tangenti esternamente tra loro; inoltre la circonferenza $\gamma_1$ è tangente alle basi $A B, C D$ e al lato obliquo AD del trapezio isoscele $A B C D$, mentre la circonferenza $\gamma_2$ è tangente alle basi $A B, C D$ e al lato obliquo $B C$ dello stesso trapezio (vedi la figura). Sapendo che $\overline{A B}=6 e \overline{C D}=4$, qual è la misura del raggio delle due circonferenze?
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Faccio riferimento alla figura che, ovviamente deve essere una figura simmetrica rispetto al segmento HK che rappresenta l'altezza del trapezio circoscritto alle due circonferenze congruenti fra loro. Chiamo quindi:
x = raggio di ognuna delle due circonferenze
2x= HK
ΒC = ΑD = y = lato obliquo trapezio isoscele ABCD
Quindi con riferimento ad uno dei due trapezi rettangoli che formano quello di partenza e che risulta circoscritto ad una delle due circonferenze, possiamo scrivere il sistema:
{2·x + y = 3 + 2
{y^2 = (3 - 2)^2 + (2·x)^2
quindi:
{2·x + y = 5
{y^2 = 4·x^2 + 1
Dalla prima:
y = 5 - 2·x
che sostituita nella seconda permette di scrivere:
(5 - 2·x)^2 = 4·x^2 + 1
4·x^2 - 20·x + 25 = 4·x^2 + 1
- 20·x = -24----> x = 6/5
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Genius II
