[Risolto] Problema di geometria di tipo algebrico con calcoli da svolgere

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$BD= BH+DH = 80\,cm;$

$BH=\dfrac{2}{3}DH;$

quindi:

$\dfrac{2}{3}DH+DH = 80$

tutto per 3:

$2DH+3DH = 240$

$5DH = 240$

tutto diviso 5:

$\dfrac{\cancel5DH}{\cancel5} = \dfrac{\cancel{240}^{48}}{\cancel5_1}$

$DH= 48$

per cui:

$BH= \dfrac{2}{3}DH = \dfrac{2}{\cancel3_1}×\cancel{48}^{16}= 2×16 = 32\,cm;$

il quadrilatero così formato, grazie alle diagonali normali tra loro e che l'una non taglia l'altra a metà, è un aquilone o deltoide e, visto che una diagonale è congruente al diametro della circonferenza, è formato da due triangoli rettangoli, quindi applica il 2° teorema di Euclide come segue:

$AC= AH+HC = 2×\sqrt{BH×DH} = 2×\sqrt{32×48} = 2×\sqrt{1536} = 2×16\sqrt6 = 32\sqrt6\,cm;$

area del deltoide $A= \dfrac{AC×BD}{2} = \dfrac{\cancel{32}^{16}×\sqrt6×80}{\cancel2_1} = 1280\sqrt6\,cm^2.$  

Generalità
L'area S di ogni quadrilatero con diagonali ortogonali è il loro semiprodotto
* S(ABCD) = |AC|*|BD|/2
In ogni quadrilatero inscrivibile gli angoli opposti sono supplementari
* α + γ = β + δ = π
Dati la somma s e il rapporto 0 < k < 1 di due valori incogniti (x > y) essi valgono
* (x = s/(k + 1)) & (y = k*x)
Esercizio 162
* BD è diametro del circumcerchio ≡ α = γ = π/2
perché ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.
* (|BH| = (2/3)*|HD|) & (|BH| + |HD| = 80) ≡
≡ (p/q = 2/3) & (p + q = 80) ≡
≡ (|HD| = q = 80/(2/3 + 1) = 48) & (|BH| = p = (2/3)*48 = 32)
Avendo le stesse proiezioni (p, q) sulla comune ipotenusa i triangoli BAD e BDC sono speculari; quindi la diagonale AC è il doppio dell'altezza che, per Euclide II, è media geometrica delle proiezioni
* |AC| = 2*√(p*q) = 2*√(32*48) = 32*√6 ~= 78.38
da cui infine
* S(ABCD) = |AC|*|BD|/2 = (32*√6)*80/2 = 1280*√6 ~= 3135.35

diametro BD = 80 cm 

DH = 2BH/3 

ABCD è un deltoide (BCD = ABD) !!

DH+BH = BH+2BH/3 = 5BH/3 = 80 cm

BH = 16*3 = 48 cm

DH = 48*2/3 = 32 cm 

CH = √(32*48) = √16*2*16*3) =√16^2*6 = 16√6 cm 

area ABCD = BD*AC = 80*16√6 = 1.280√6