Problema di geometria analitica. Ellisse-quadrato

Il quadrato inscritto nella ellisse è centrato in O(0,0)

Quindi il quadrato ha vertici ottenibili dall'equazione:

4·x^2 = 12--------->x = - √3 ∨ x = √3

I vertici sono: (√3, √3); (-√3,√3); (-√3,-√3); (√3;-√3)

Quindi, l'ellisse ha equazione: x^2/9+y^2/b^2=1 (essendo a^2=9 giustamente!)

Per ottenere b, basta inserire nell'equazioni il vertice del quadrato corrispondente al 1° quadrante:

√3^2/9 + √3^2/b^2 = 1--------> 1/3 + 3/b^2 = 1-------> b^2=9/2

Equazione ellisse: x^2/9 + 2/9·y^2 = 1

Fino a x^2/9 + y^2/b^2 = 1 ci troviamo perfettamente; resta da trovare b^2.

Esplicitando avremo passo - passo

y^2/b^2 = 1 - x^2/9

y = b * rad ( 1 - x^2/9 ) = b/3 * rad( 9 - x^2 )

e ponendo a sistema con y = k

b/3 rad ( 9 - x^2 ) = k

rad ( 9 - x^2 ) = 3k/b

9 - x^2 = 9k^2/b^2

x^2 = 9 - 9k^2/b^2

x = +- 3 rad ( 1 - k^2/b^2 )

I due lati del rettangolo sarebbero quindi Lx = 6 rad (1 - k^2/b^2)

e Ly = 2k --- perché sia un quadrato occorre che risulti

6 rad (1 - k^2/b^2) = 2k

3 rad ( 1 - k^2/b^2 ) = k

1 - k^2/b^2 = k^2/9

k^2( 1/9 + 1/b^2 ) = 1

k^2 = 1/(1/9 + 1/b^2) = 9b^2/(b^2+9)

Ora se l'area di un quadrato di lato 2k deve essere 12 allora

4k^2 = 12 => k^2 = 12/4 = 3

Uguagliando i due valori di k^2 così trovati si ha infine

9b^2/(b^2 + 9) = 3

9 b^2 = 3b^2 + 27

6b^2 = 27

b^2 = 27/6 = 9/2

1/b^2 = 2/9

Sostituendo

x^2/9 + 2/9 y^2 = 1

e moltiplicando per 9

x^2 + 2y^2 = 9

"deve risultare ..." E' UN'AFFERMAZIONE AZZARDATA.
Meglio sarebbe stato dichiarare che "Il risultato atteso è ..." senza impegnarsi ad affermare o negare alcunché.
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Il quadrato di lato L inscritto in un'ellisse Γ di semiassi (a, b) le è concentrico ed ha i vertici V sulle bisettrici dei comuni assi di simmetria, quindi la determinazione della sua area S è indipendente dal sistema di riferimento rispetto al quale si fanno i calcoli.
Nel riferimento più semplice possibile trovo i vertici come soluzioni del sistema
* BISETTRICI & ELLISSE ≡
≡ (x^2 = y^2) & ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1) ≡
≡ V(± a*b/√(a^2 + b^2), ± a*b/√(a^2 + b^2))
da cui
* L = 2*a*b/√(a^2 + b^2)
* S = L^2 = 4*(a^2)*b^2/(a^2 + b^2)
* b = (1/√(4*a^2/S - 1))*a
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NEL CASO IN ESAME
"due vertici in V(± 3, 0)" vuol dire centrata nell'origine, con assi di simmetria sugli assi coordinati e con semiasse a = 3.
"il quadrato in essa inscritto ha area 12" vuol dire S = 12.
Quindi
* b = (1/√(4*a^2/S - 1))*a = (1/√(4*3^2/12 - 1))*3 = 3/√2
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 ≡
≡ (x/3)^2 + (y/(3/√2))^2 = 1 ≡
≡ (x^2 + 2*y^2 - 9)/9 = 0 ≡
≡ x^2 + 2*y^2 = 9
che è proprio il risultato atteso.