Problema di geometria analitica con parametri

Premessa terminologica
Il "campo dei numeri reali positivi" non esiste.
Per qualificarsi "campo" un insieme numerico dev'essere chiuso per le operazioni razionali: poiché la differenza "15 - 27" non è un numero reale positivo, l'insieme dei numeri reali positivi non è un campo.
Esercizio
L'ellisse riferita ai suoi assi
* 9*x^2 + 4*y^2 = 36 ≡
≡ (x/2)^2 + (y/3)^2 = 1 ≡
≡ (x = ± (2/3)*√(9 - y^2)) & (- 3 <= y <= 3)
ha
* semiassi (a, b) = (2, 3), asse maggiore su asse y
* semidistanza focale c = √(b^2 - a^2) = √5
* fuochi F1(0, - √5), F2(0, √5)
---------------
Ogni punto P con ascissa non negativa è P((2/3)*√(9 - y^2), y) e l'area S del triangolo F1F2P è
* S(y) = |- √5 - √5|*(2/3)*√(9 - y^2)/2 = z = (2/3)*√((9 - y^2)*√5)
con
* S(± 3) = 0 <= z <= S(0) = 2*∜5 ~= 2.99
e quindi
* 0 < k <= 2*∜5
il sistema
* ((2/3)*√((9 - y^2)*√5) = k) & (0 < k <= 2*∜5) ≡
≡ y = ± 3*√((20 - (√5)*k^2)/20)
risolve il "come svolgere l'esercizio" dando
* 9 - y^2 = 9*k^2/(4*√5)
* √(9 - y^2) = 3*k/(2*∜5)
* P(k/∜5, ± 3*√((20 - (√5)*k^2)/20))

9·x^2 + 4·y^2 = 36

riscrivo: x^2/4 + y^2/9 = 1

pongo:

α = a^2 = 4

β = b^2 = 9

β > α fuochi sull'asse delle y

β = γ + α avendo definito: γ = c^2

(±c sono le ordinate dei due fuochi)

c^2 = 9 - 4----> c = - √5 ∨ c = √5

Se x è l'ascissa del punto P sull'ellisse con x>0

Α = area triangolo F1F2P= 1/2·(2·√5)·x 

quindi si ha:

9·x^2 + 4·y^2 = 36 risolta rispetto ad x:

x = - 2·√(9 - y^2)/3 ∨ x = 2·√(9 - y^2)/3

In grassetto l'ascissa che ci interessa

Quindi si ha:

Α = 1/2·(2·√5)·(2·√(9 - y^2)/3)

Α = 2·√5·√(9 - y^2)/3

con 9 - y^2 > 0----> -3 < y < 3

Il valore massimo dell'area A si ha per x=0: Α max = 2·√5

Quindi deve essere: 0 < k < 2·√5

2·√5·√(9 - y^2)/3 = k

Ad esempio per k=3 si ottiene:

2·√5·√(9 - y^2)/3 = 3

y = - 3·√55/10 ∨ y = 3·√55/10

x = 2·√(9 - (3·√55/10)^2)/3

x = 3·√5/5

Quindi un punto P di coordinate:

[3·√5/5, 3·√55/10]