[Risolto] Problema di Geometria analitica

Retta
* r ≡ x + 2*y - 5 = 0 ≡ y = (5 - x)/2
di pendenza m = - 1/2 e punto di tangenza
* P(3, (5 - 3)/2) = (3, 1)
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Ellisse
* δ ≡ ((x - 2)/a)^2 + (y/b)^2 = 1
ha: centro in C (2,0), fuochi sull'asse x e semiassi a > b > 0.
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Per tangere r in P ci deve passare
* (((3 - 2)/a)^2 + (1/b)^2 = 1) & (a > b > 0) ≡
≡ (a = b/√(b^2 - 1)) & (1 < b < √2)
quindi
* δ ≡ ((x - 2)*√(b^2 - 1))^2 + y^2 = b^2
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Per tangere r in P(3, 1), √2 a Nord-Est di C(2, 0), serve la pendenza di δ nella semiellisse superiore
* δ ≡ y = √((1 - b^2)*x^2 - 4*(1 - b^2)*x + 3*(1 - b^2) + 1)
da cui
* y' = m(x) = (b^2 - 1)*(2 - x)/√((1 - b^2)*x^2 - 4*(1 - b^2)*x + 3*(1 - b^2) + 1)
e, in P(3, 1),
* m(3) = 1 - b^2
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La tangenza richiede la medesima pendenza
* (m(3) = 1 - b^2 = - 1/2) & (1 < b < √2) ≡ b = √(3/2)
da cui
* a = √(3/2)/√(3/2 - 1) = √3
* δ ≡ ((x - 2)/√3)^2 + (y/√(3/2))^2 = 1
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%285-x%29%2F2%2C%28y%2F%E2%88%9A%283%2F2%29%29%5E2%3D1-%28%28x-2%29%2F%E2%88%9A3%29%5E2%5D