Problema di geometria

Osserva la figura, nota come $\widehat{OAC} \cong \widehat{OBD}$ perché sono entrambi angli retti formati da un raggio della circonferenza e la tangente nell'estremo del raggio (nel disegno sono meglio indicati con $\alpha \cong \beta$, adesso nota come il triangolo $OAB$ è un triangolo isoscele perché i lati $\overline{OA} \cong \overline{OB}$ sono raggi della circonferenza, quindi ne concludiamo che $\widehat{OAB} \cong \widehat{ABO}$ (nel disegno indicati come $\gamma \cong \delta$). Osserva inoltre che $\alpha + \gamma + \epsilon \cong \beta + \delta + \zeta$ perché sono angoli tra loro supplementari, da questa relazione si deriva $\epsilon \cong \zeta$ per via delle congruenze dimostrate precedentemente. L'angolo opposto al vertice di $\epsilon$ è congruente a $\epsilon$ così come l'angolo opposto al vertice di $\zeta$ è congruente a $\zeta$, allora il triangolo $ABP$ è un triangolo congruente, lo è anche il triangolo $PCD$ dato che i due triangoli sono simili (i loro lati appartengono alle stesse rette o rette parallele).

Nota come $\gamma \cong \widehat{COA}$ perché sono angoli alterni interni e lo stesso per $\zeta \cong \widehat{DOB}$, dato che però $\zeta \cong \epsilon$ e $180+\zeta + \epsilon + \alpha = \zeta + \epsilon + \widehat{AOB}$ deriviamo che $\widehat{AOB} \cong \alpha = 90^{\circ}$. Sappiamo che tutti gli angoli del quadrilatero $AOBP$ sono angoli retti, questo poligono è un quadrato, perché i triangoli $ABP$ E $ABO$ sono congruenti (congruenti per il secondo criterio di congruenza$^{[1]}$ dato che gli angoli opposti al vertice sono angoli congruenti di angoli congruenti e hanno un lato comune $\overline{AB} \cong \overline{AB}$. Nota come i triangoli $PJQ$ e $PIQ$ sono congruenti perché $\overline{PG}$ è altezza, bisettrice e mediana del triangolo isoscele $PAB$, gli angoli $\iota$ e $\kappa$ sono congruenti perché opposti al vertice, e anche gli angoli $\lambda$ e $\xi$ lo sono per lo stesso motivo, a causa della bisettrice, $\lambda \cong \iota \cong \xi \cong \kappa$ (è bisettrice anche di $AQB$ perché $Q$ appartiene alla stessa retta passante per $\overline{OP}$).

Da quanto detto deriviamo anche che i triangoli $QJA$ e $QBI$ sono congruenti per il primo criterio di congruenza $^{[2]}$ perché $\overline{KQ} \cong \overline{IQ}$ e $\nu \cong \mu$ perché sono angoli opposti al vertice, infine gli angoli $\widehat{QJA}$ e $\widehat{QIB}$ sono congruenti perché supplementari di angoli congruenti $\widehat{QIP} \cong \widehat{QJP}$ (tutto questo perché i triangoli $PJQ$ e $PIQ$ sono congruenti), allora $QAB$ è un triangolo isoscele per cui gli angoli alla base sono congruenti.

Sappiamo inoltre che l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo opposto all'angolo al centro, quindi $\widehat{AQB} = \frac{360^{\circ} - \alpha}{2}=135^{\circ}$, quindi $\iota = \lambda =\frac{135^{\circ}}{2}=67.5^{\circ}$, allora gli angoli alla base saranno: $180^{\circ}-90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$. Consideriamo adesso il triangolo isoscele $APB$, sappiamo che l'angolo alla base è 45° (perché la sua somma con un altro angolo congruente è l'angolo retto congruente a $\alpha$), ed è dato da $22.5+\widehat{QAJ} = 45^{\circ}$ allora $\widehat{QAJ} = 45-22.5=22.5$ gli angoli alla base sono congruenti a $\widehat{QAJ}$, quindi sono anche congruenti a $\widehat{QBI} \cong \widehat{QAJ}$, quindi questi angoli sono tutti fra loro congruenti, e le linee che le dividono sono bisettrici.

$\textit{c.v.d.}$

[1]:

Secondo criterio di congruenza dei triangoli:

Se due triangoli hanno due lati corrispondenti congruenti e l'angolo fra essi compreso congruente, i due triangoli sono congruenti.

[2]:
Secondo criterio di congruenza dei triangoli:

Se due triangoli hanno due angoli corrispondenti congruenti e il lato fra di loro compreso congruente, i due triangoli sono congruenti.

Mi dispiace per la risposta molto lunga, però ho spiegato tutto per filo e per segno, volevo essere chiaro, consiglio fortemente di seguire il disegno durante la lettura.