In una pagina di formato A4 (che misura $210 \mathrm{~mm} \times 297 \mathrm{~mm}$ ), Milena ha disegnato un rettangolo con la misura dei lati éspressa da un numero intero di millimetri. A questo punto, addiziona il numero che corrisponde all'area del rettangolo (espressa in $\mathrm{mm}^2$ ) e i due numeri che corrispondono alla base e all'altezza del rettangolo (espressi in mm). La somma trovata è 2024. Qual è al massimo il perimetro, in $\mathrm{mm}$, del rettangolo di Milena?
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Livello 1
Sapendo che bh+b+h = 2024, ho aggiunto 1 ad entrambi i membri per scomporlo in (h+1)(b+1) = 2025.
Fattorizzando, (h+1)(b+1) = 3^4 * 5^2
Sappiamo che il perimetro deve essere massimo, per cui deve essere massimizzato il valore di h+b. Siccome so che b ed h sono numeri naturali, distribuisco i fattori primi di 2025 e calcolo, per ognuno, il valore di h+b.
Dopo aver fatto ciò, controllo che sia b sia h siano strettamente minori della diagonale del foglio A4 (altrimenti, non si potrebbe disegnare il rettangolo). In conclusione, il rettangolo che ha perimetro maggiore ed entra nel foglio ha i lati di dimensioni 8mm e 224mmm.
Non è scritto in maniera molto formale, ma spero che sia giusto
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Livello 1
@gabriele_codecasa grazie Gabriele. Il risultato dovrebbe essere 484
Non (8 + 224) * 2 = 464 ?
Ho ricontrollato i calcoli, non riesco a trovare dove ho sbagliato...
@gabriele_codecasa grazie mille a prescindere dal risultato
Di nulla, non so ancora se il mio risultato (464) sia giusto, ma posso dirti che 484 non lo è sicuramente.
Infatti, risolvendo il sistema di secondo grado dove la prima equazione è quella del perimetro e la seconda quella posta per ipotesi, i lati del rettangolo risultano irrazionali, non appartenenti ad N come chiesto nel problema.
Il perimetro del rettangolo di base b e altezza h è
* p(b, h) = 2*(b + h)
Si chiede di massimizzare p(b, h) soggetto ai vincoli
* b ed h numeri naturali
* (0 < b <= 297) & (0 < h <= 210)
* b + b*h + h = (b + h)^2 - b*h = 2024
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* ((b + h)^2 - b*h = 2024) & (0 < b <= 297) & (0 < h <= 210) ≡
≡ (0 < b <= 2*√506) & (h = (√(8096 - 3*b^2) - b)/2)
quindi si tratta di massimizzare, in numeri naturali, una funzione di una sola variabile soggetta a un solo vincolo
* p(b, h) = 2*(b + h) ≡
≡ (p(b) = 2*(b + (√(8096 - 3*b^2) - b)/2)) & (0 < b < 45)
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Per calcolare la condizione di massimo
* (p'(b) = 0) & (p''(b) < 0)
servono gli zeri della derivata prima e, se sono più d'uno, serve anche il segno della derivata seconda.
* p'(b) = 1 - 3*b/√(8096 - 3*b^2) = 0 ≡
≡ b = 2*√(506/3) ~= 25.97
occorrono perciò due valutazioni per individuare quanto richiesto.
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1) Per b = 25
* h = (√(8096 - 3*25^2) - 25)/2 ~= 26.9
* p(25, 26) = 2*(25 + 26) = 102
* p(25, 27) = 2*(25 + 27) = 104
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2) Per b = 26
* h = (√(8096 - 3*26^2) - 26)/2 ~= 25.9
* p(26, 25) = 2*(26 + 25) = 102
* p(26, 26) = 2*(26 + 26) = 104
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Conclusioni
a) Il risultato è 104 mm
b) "Il risultato dovrebbe essere 484" è una "sullenne minchiata" (© Camilleri).
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Genius I
@exprof No ho capito il perché dei vincoli all'inizio. Non potremmo considerare anche i rettangoli disegnati con i lati non paralleli a quelli del foglio? Con il mio ragionamento, forse un po' troppo banale, ho messo come vincolo che nessuno dei due lati debba essere maggiore della diagonale del foglio A4, ma non so se sia sufficiente.
Grazie mille!
Di sicuro, per avere il perimetro più lungo il rettangolo deve essere molto sbilanciato tra i lati, cioè avere uno dei due lati il più lungo possibile.
Quindi il lato lungo deve essere il più possibile vicino al 297, misura massima disegnabile.
Per tentativi, si vede che con i lati di 288 e 6 si ottiene il risultato 2022.
Si vede anche che la misura di nessun lato può essere dispari, altrimenti il risultato, combinazione della moltiplicazione e della somma, verrebbe dispari.
Quindi, non potendo utilizzare il 7 come lato corto, bisogna passare ad un lato di 8 e quindi l'altro lato ben più corto di 288.
Per tentativi, effettuati su un foglio elettronico, la combinazione di lati lunghi 224 ed 8 dà appunto 2024.
Dunque il perimetro massimo del rettangolo disegnabile con quei vincoli sarà (224+8)*2 = 464 mm
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Livello 5
