Considera un punto P, internamente a un segmento AB, e costruisci, dalla stessa parte rispetto ad AB, i due quadrati APQR e PBST.
a. Dimostra che, qualsiasi sia la posizione di P, le tre rette AT, BQ ed RS sono concorrenti.
b. Determina la posizione di P per cui e` minima la somma delle aree dei due quadrati APQR e PBST. E` vero che in corrispondenza di questa posizione di P e` minima anche la lunghezza del segmento RS? Giustifica la risposta.
a. Fissiamo un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali come indicato in figura, scegliendo l’unita` di misura sugli assi in modo che B abbia ascissa 1. Indichiamo poi con t l’ascissa di P, con 0 < t < 1.
Risulta allora: - $O=A(0,0)$ e $T(t, 1-t)$, quindi la retta $O T$ ha equazione $y=\frac{1-t}{t} x .$ - $R(0, t)$ e $S(1,1-t)$, quindi la retta $R S$ ha coefficiente angolare $m_{R S}=\frac{1-t-t}{1-0}=1-2 t$ e la sua equazione è: $$ y=(1-2 t) x+t $$ - $B(1,0)$ e $Q(t, t)$, quindi la retta $B Q$ ha coefficiente angolare $m_{B Q}=\frac{t-0}{t-1}=\frac{t}{t-1}$ e la sua equazione è: $$ y=\frac{t}{t-1}(x-1)\left[^{*}\right] $$
Risolvendo il sistema:
$$ \left\{\begin{array}{l} y=\frac{1-t}{t} x \\ y=(1-2 t) x+t \end{array}\right. $$
si trova come soluzione $\left(\frac{t^{2}}{2 t^{2}-2 t+1}, \frac{t(1-t)}{2 t^{2}-2 t+1}\right)$ e si verifica che le coordinate di questo punto soddisfano l'equazione della retta $B Q$ per ogni $t ;$ infatti sostituendo nell'equazione $\left[^{*}\right]$ l'espressione $\frac{t^{2}}{2 t^{2}-2 t+1}$ al posto di $x$, otteniamo: $$ y=\frac{t}{t-1}\left(\frac{t^{2}}{2 t^{2}-2 t+1}-1\right)=$$
$$=-\frac{t}{t-1} \cdot \frac{(t-1)^{2}}{2 t^{2}-2 t+1}=\frac{t(1-t)}{2 t^{2}-2 t+1} $$ Resta così provato che le tre rette $A T, R S$ e $B Q$ sono concorrenti, cioè passano sempre per uno stesso punto.
b. Nel sistema di riferimento che abbiamo assunto, la funzione che esprime la somma delle aree dei due quadrati APQR e PBST è: $$ A(t)=t^{2}+(1-t)^{2} \operatorname{con} 0<t<1 $$ cioèè $$ A(t)=2 t^{2}-2 t+1 $$ Si tratta di una funzione rappresentata graficamente da una parabola con la concavità rivolta verso l'alto che, nell'intervallo $0<t<1$, assume valore minimo in corrispondenza dell'ascissa del vertice, cioè per: $$ x=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2} $$ Dunque la somma delle aree dei due quadrati è minima quando $P$ coincide con il punto medio di $A B$. Osserviamo ora che la lunghezza del segmento $R S$ sarà minima quando è minima l'area del quadrato costruito su $R S$. Poiché il triangolo $R P S$ è rettangolo in $P$, si ha: $$ \overline{R S}^{2}=\overline{R P}^{2}+\overline{P S}^{2}=(\sqrt{2} \overline{A P})^{2}+(\sqrt{2} \overline{P B})^{2}=2\left(\overline{A P}^{2}+\overline{B P}^{2}\right) $$ Ne segue che il quadrato costruito su $R S$ ha area minima quando è minima la somma delle aree dei due quadrati costruiti su $A P$ e $B P$. Dunque quando $P$ coincide con il punto medio di $A B$ risulta minima sia la somma delle aree dei due quadrati $A P Q R$ e $P B S T$, sia la lunghezza di $R S$.