[Risolto] Problema di geometria

a. Fissiamo un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali come indicato in figura, scegliendo l’unita` di misura sugli assi in modo che B abbia ascissa 1. Indichiamo poi con t l’ascissa di P, con 0 < t < 1.

Risulta allora:
- $O=A(0,0)$ e $T(t, 1-t)$, quindi la retta $O T$ ha equazione $y=\frac{1-t}{t} x .$
- $R(0, t)$ e $S(1,1-t)$, quindi la retta $R S$ ha coefficiente angolare $m_{R S}=\frac{1-t-t}{1-0}=1-2 t$ e la sua equazione è:
$$
y=(1-2 t) x+t
$$
- $B(1,0)$ e $Q(t, t)$, quindi la retta $B Q$ ha coefficiente angolare $m_{B Q}=\frac{t-0}{t-1}=\frac{t}{t-1}$ e la sua equazione è:
$$
y=\frac{t}{t-1}(x-1)\left[^{*}\right]
$$

Risolvendo il sistema:

$$
\left\{\begin{array}{l}
y=\frac{1-t}{t} x \\
y=(1-2 t) x+t
\end{array}\right.
$$

si trova come soluzione $\left(\frac{t^{2}}{2 t^{2}-2 t+1}, \frac{t(1-t)}{2 t^{2}-2 t+1}\right)$ e si verifica che le coordinate di questo punto soddisfano l'equazione della retta $B Q$ per ogni $t ;$ infatti sostituendo nell'equazione $\left[^{*}\right]$ l'espressione $\frac{t^{2}}{2 t^{2}-2 t+1}$ al posto di $x$, otteniamo:
$$
y=\frac{t}{t-1}\left(\frac{t^{2}}{2 t^{2}-2 t+1}-1\right)=$$

$$=\frac{t}{t-1}\left(\frac{-t^{2}+2 t-1}{2 t^{2}-2 t+1}\right)=$$

$$=-\frac{t}{t-1} \cdot \frac{(t-1)^{2}}{2 t^{2}-2 t+1}=\frac{t(1-t)}{2 t^{2}-2 t+1}
$$
Resta così provato che le tre rette $A T, R S$ e $B Q$ sono concorrenti, cioè passano sempre per uno stesso punto.

b. Nel sistema di riferimento che abbiamo assunto, la funzione che esprime la somma delle aree dei due quadrati APQR e PBST è:
$$
A(t)=t^{2}+(1-t)^{2} \operatorname{con} 0<t<1
$$
cioèè
$$
A(t)=2 t^{2}-2 t+1
$$
Si tratta di una funzione rappresentata graficamente da una parabola con la concavità rivolta verso l'alto che, nell'intervallo $0<t<1$, assume valore minimo in corrispondenza dell'ascissa del vertice, cioè per:
$$
x=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}
$$
Dunque la somma delle aree dei due quadrati è minima quando $P$ coincide con il punto medio di $A B$. Osserviamo ora che la lunghezza del segmento $R S$ sarà minima quando è minima l'area del quadrato costruito su
$R S$. Poiché il triangolo $R P S$ è rettangolo in $P$, si ha:
$$
\overline{R S}^{2}=\overline{R P}^{2}+\overline{P S}^{2}=(\sqrt{2} \overline{A P})^{2}+(\sqrt{2} \overline{P B})^{2}=2\left(\overline{A P}^{2}+\overline{B P}^{2}\right)
$$
Ne segue che il quadrato costruito su $R S$ ha area minima quando è minima la somma delle aree dei due quadrati costruiti su $A P$ e $B P$. Dunque quando $P$ coincide con il punto medio di $A B$ risulta minima sia la somma delle aree dei due quadrati $A P Q R$ e $P B S T$, sia la lunghezza di $R S$.