[Risolto] problema di geometria

Il triangolo rettangolo è inscritto in una semicirconferenza, il diametro è l'ipotenusa, la mediana è il raggio. La mediana è la metà dell'ipotenusa.

AB = 40 * 2 = 80 cm;

Area triangolo = 80 * 38,4 / 2 = 1536 cm^2;

Con il 2° teorema di Euclide troviamo i cateti;

L'altezza è media proporzionale fra le due proiezioni dei cateti AH e HB;

HB = 80 - AH;

AH : CH = CH : HB;

AH : 38,4 = 38,4 : (80 - AH);

AH * (80 - AH ) = 38,4^2;

80 AH - AH^2 - 1474,56 = 0;

AH^2 - 80AH + 1474,56 = 0;

AH = + 40 +- radicequadrata(40^2 - 1474,56) ;

AH = + 40 +- radice(125,44) = + 40 +- 11,2;

AH = 40 + 11,2 = 51,2 cm; prendiamo questa soluzione per AH, l'altra è per BH.

BH  = 80 - 51,2 = 28,8 cm.

Cateto AC = radicequadrata(51,2^2 + 38,4^2) = 64 cm;

Cateto BC = Area * 2 / AC = 1536 * 2 / 64 = 48 cm;

Perimetro = 80 + 64 + 48 = 192 cm.

Ciao  @elena12457

La mediana relativa all'ipotenusa é metà dell'ipotenusa stessa

c = 2 m = 80 cm

S = c * h /2 = 80*38.4/2 cm^2 = 1536 cm^2

ora d = sqrt (m^2 - h^2) = sqrt (1600 - 1474.56) cm = 11.2 cm

e allora  ca = c/2 - d = (40 - 11.2) cm = 28.8 cm

cb = c - ca = (80 - 28.8) cm = 51.2 cm

Per il I Teorema di Euclide

a = sqrt (c*ca) = sqrt (28.8*80) cm = sqrt (2304) cm = 48   cm

b = sqrt (c*cb) = sqrt (80*51.2) cm = sqrt(4096) cm = 64 cm

P = a + b + c = (48 + 64 +80) cm = 192 cm

Nota. Si può dimostrare, ma non entro nel merito della discussione, che se si lasciano

i dati letterali, risulta  S = h m   e P = 2 [ m + sqrt (m*(m+h)) ].

Il triangolo rettangolo ABC di lati
* 0 < |BC| = a <= |AC| = b < |AB| = c = √(a^2 + b^2)
altezza sull'ipotenusa
* |CH| = h = a*b/c = a*b/√(a^2 + b^2)
proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione e l'ipotenusa)
* |AH| = p = b^2/c = b^2/√(a^2 + b^2) = 1/√((a/b)^2 + 1)
* |BH| = q = a^2/c = a^2/√(a^2 + b^2) = 1/√(1 + (b/a)^2)
ha
* perimetro p = a + b + c = a + b + √(a^2 + b^2)
* area S(ABC) = a*b/2 = c*h/2
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La mediana relativa all'ipotenusa è il circumraggio R, cioè metà ipotenusa (se l'angolo alla circonferenza è retto, quello al centro dev'essere piatto: l'ipotenusa è diametro del circumcerchio): R = c/2.
L'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni: h^2 = p*q.
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Misure in cm, cm^2.
Dai dati
* R = 40
* h = 38.4 = 192/5
si ha
* c = 2*R = 80 = √(a^2 + b^2)
* h^2 = (192/5)^2 = 36864/25 = p*q = (a*b)^2/(a^2 + b^2)
quindi
* (80 = √(a^2 + b^2)) & (36864/25 = (a*b)^2/(a^2 + b^2)) & (0 < a < b) ≡
≡ (a = 48) & (b = 64)
e infine
* perimetro p = 48 + 64 + √(48^2 + 64^2) = 192 cm
* area S(ABC) = 48*64/2 = 1536 cm^2

La mediana M e l'altezza h relativa all'ipotenusa i di un triangolo rettangolo misurano 40 cm e 38,4 cm; calcolare il perimetro e l'area del triangolo 

La mediana M relativa all'ipotenusa i di un triangolo rettangolo è la metà dell'ipotenusa stessa. Un triangolo rettangolo può essere visto come la metà di un  rettangolo. La mediana relativa all'ipotenusa è mezza diagonale e l'ipotenusa è essa stessa la diagonale del rettangolo.

ipotenusa i = 2M = 40*2 = 80 cm 

area A = i*h/2 = 38,4*40 = 1.536 cm^2

HK = √40^2-38,4^2 = 11,20 cm  

AH = 40-11,20 = 28,80 cm 

BH = 40+11,20 = 51,20 cm 

cateto minore c = √AB*AH = √80*28,8 = 48,0 cm (Euclide)

cateto maggiore C = √AB*BH = √80*51,2 = 64,0 cm (Euclide)

noti i cateti e l'ipotenusa (formanti, tra l'altro, una terna Pitagorica) si suppone tu sappia calcolare perimetro ed area