[Risolto] problema di geometria

L'area di un triangolo rettangolo è di 1350cm² e un cateto misura 45 cm . Calcola l'area dei due triangoli in cui l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo dato.

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Cateto incognito $= \frac{2×1350}{45} = 60~cm$;

ipotenusa $ip=  \sqrt{60^2+45^2} = 75~cm$ (teorema di Pitagora);

proiezione cateto minore $pc= \frac{45^2}{75} = 27~cm$ (1° teorema di Euclide);

proiezione cateto maggiore $pC= 75-27 = 48~cm$;

altezza relativa all'ipotenusa $h= \frac{C·c}{ip} = \frac{60×45}{75} = 36~cm$;

area triangolo minore $A_1= \frac{pc·h}{2} = \frac{27×36}{2} = 486~cm^2$;

area triangolo maggiore $A_2= A-A_1=  1350-486 = 864~cm^2$.

Per trovare l’altro cateto: 

$1350=45x/2$
$2700=45x$
$x=2700/45$
$x=60$
per trovare l’ipotenusa:

$√60^2+45^2$
$√3600+2025$
$√5625$
$75$
Si applichi il primo teorema di Euclide per trovare le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:

$45^2=75x$
$x_1=27$

l’altra proiezione:

$75-27=48$
si applichi il secondo teorema di Euclide per trovare l’altezza relativa al l’ipotenusa:

$27*48=√1296=36$
Area del triangolo_1:

$27*36/2=486$
Area del triangolo_2:

$48*36/2=864$

C2= (A*2)/C1 = 60 cm

Terna Pitagorica primitiva 3-4-5 

Terna Pitagorica derivata (*15): 45-60-75 (ipotenusa) 

Applicando il teorema di Euclide determino le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa 

P1= 45²/75 = 27 cm

P2= 75-27 = 48 cm

Rapporto: P2/P1= 48/27 = 16/9

(rapporto tra le aree dei due triangoli in cui l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo) 

A1= [1350/(16+9)]*9 = 486 cm²

Per differenza determino A2

A2= 1350-486 = 864 cm²

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/problema-di-pitagora-2/

l'area A di un triangolo rettangolo è di 1350 cm² ed il cateto c1 misura 45 cm; calcola l'area dei due triangoli in cui l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo dato 

cateto c2 = 2A/c1 = 2700/45 = 60 cm 

ipotenusa i = 5√12^2+9^2 = 5*15 = 75 cm 

p2 = c2^2/i = 60^2/75 = 48,0 cm 

altezza h = 2A/i = 2700/75 = 36 cm 

area AHC = p2*h/2 = 36*24 = 864 cm^2

area BHC = area ABC-area AHC = 1350-864 = 486 cm^2

Il triangolo rettangolo ABC di lati
* 0 < |BC| = a <= |AC| = b < |AB| = c = √(a^2 + b^2)
altezza sull'ipotenusa
* |CH| = h = a*b/c = a*b/√(a^2 + b^2)
proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione e l'ipotenusa)
* |AH| = p = b^2/c = b^2/√(a^2 + b^2) = 1/√((a/b)^2 + 1)
* |BH| = q = a^2/c = a^2/√(a^2 + b^2) = 1/√(1 + (b/a)^2)
area
* S(ABC) = a*b/2 = c*h/2
ha le aree S richieste
* S(AHC) = h*p/2 = (a*b/√(a^2 + b^2))*(b^2/√(a^2 + b^2))/2 = a*b^3/(2*(a^2 + b^2))
* S(BHC) = S(ABC) - S(AHC) = b*a^3/(2*(a^2 + b^2))
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Misure in cm, cm^2.
Dai dati
* (S(ABC) = a*b/2 = 1350) & (a = 45)
si ha
* b = 60
da cui
* S(AHC) = a*b^3/(2*(a^2 + b^2)) = 45*60^3/(2*(45^2 + 60^2)) = 864
* S(BHC) = b*a^3/(2*(a^2 + b^2)) = 60*45^3/(2*(45^2 + 60^2)) = 486