[Risolto] Problema di geometria

Una piramide retta ha per base un triangolo rettangolo in B con l'ipotenusa AC = i  di 52 cm e un cateto AB = c di 20 cm. Se l'altezza della piramide h misura 15 cm, qual è il suo volume V ? E la sua area totale A ? Risultato 2400 cm^3 1500 cm^2

l'area totale A è la somma tra l'area di base Ab pari a AB*BC/2 e l'area laterale Al pari a  ((AB+BC+AC)*apotema a)/2; è quindi necessario risolvere il triangolo di base ABC .

triangolo ABC

cateto BC = C = √i^2-c^2 = 4√13^2-5^2 = 4*12 = 48 cm

perimetro 2p = AB+AC+BC = 20+48+52 = 120 cm 

area Ab = c*C/2 = 48*20/2 = 480 cm^2

raggio del cerchio inscritto r = 2Ab/2p = 960/120 = 8,0 cm 

piramide 

apotema a = √r^2+h^2 = √8^2+15^2 = √289 = 17,0 cm

area laterale Al = 2p*a/2 = 60*17 = 1.020 cm^2

area totale A = Ab+Al = 480+1020 = 1.500 m^2

volume V = Ab*h/3 = 480*15/3 = 480*10/2 = 2.400 cm^3

Una piramide retta ha per base un triangolo rettangolo con l'ipotenusa di 52 cm e un cateto di 20 cm. Se l'altezza della piramide misura 15 cm, qual è il suo volume? E la sua area totale?

Risultato 2400 cm^3 1500 cm^2

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Cateto incognito del triangolo rettangolo di base $C= \sqrt{52^2-20^2} = 48~cm$ (teorema di Pitagora);

area di base $Ab= \dfrac{C·c}{2} = \dfrac{48×20}{2} =480~cm^2$;

perimetro di base $2p_b= 52+20+48 = 120~cm$;

raggio del cerchio inscritto nel triangolo $r= \dfrac{2·Ab}{2p_b} = \dfrac{2×480}{120} = 8~cm$;

apotema della piramide $ap=\sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{15^2+8^2} = 17~cm$ (teorema di Pitagora);

area laterale $Al= \dfrac{2p_b·ap}{2} = \dfrac{120×17}{2} = 1020~cm^2$;

volume $V= \dfrac{Ab·h}{3} = \dfrac{480×15}{3} = 2400~cm^3$;

area totale $At= Ab+Al = 480+1020 = 1500~cm^2$.