Sia $A B$ un segmento di misura 2 con punto medio $M$. Considera la circonferenza di centro $O$ e raggio $r$ tangente esternamente alle circonferenze di diametro $A M$ e $B M$ e tangente internamente alla circonferenza di diametro $A B$. Determina il valore di $r$.
[Harvard-MIT Math Tournament, 2015]
100
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Livello 1
Hai per caso la soluzione?
Graficamente mi ritrovo con 0.33, penso sia 1/3 come raggio.
sì, 1/3
non si può dimostrare anche non graficamente?
Graficamente:
Con riferimento alla figura di sopra, facciamo riferimento alle circonferenze:
x^2 + y^2 = 1 quella più grande con centro nell'origine di raggio 1
x^2 + (y - β)^2 = (1 - β)^2 la circonferenza incognita con centro sull'asse delle y per questioni di simmetria del problema
(x - 1/2)^2 + y^2 = 1/4 la circonferenza interna a destra
Con la scrittura della seconda equazione, ponendo 0 < β < 1 assicuriamo la tangenza interna della circonferenza incognita alla circonferenza più grande. Quindi consideriamo le restanti due.
Sviluppandole si ottiene:
{x^2 + y^2 - 2·β·y - 1 + 2·β = 0
{x^2 + y^2 - x = 0
Sottraendole membro a membro si ottiene l'asse radicale:
x - 2·β·y + 2·β - 1 = 0
che esplicitato si scrive:
y = (x + 2·β - 1)/(2·β)
Lo mettiamo a sistema con la circonferenza interna
{y = (x + 2·β - 1)/(2·β)
{(x - 1/2)^2 + y^2 = 1/4
(x - 1/2)^2 + ((x + 2·β - 1)/(2·β))^2 - 1/4 = 0
Sviluppando si ottiene:
(x^2·(4·β^2 + 1) - 2·x·(2·β^2 - 2·β + 1) + 4·β^2 - 4·β + 1)/(4·β^2) = 0
x^2·(4·β^2 + 1) - 2·x·(2·β^2 - 2·β + 1) + 4·β^2 - 4·β + 1 = 0
Condizione di tangenza
Δ/4 = 0
(2·β^2 - 2·β + 1)^2 - (4·β^2 + 1)·(4·β^2 - 4·β + 1) = 0
Sviluppando:
8·β^3 - 12·β^4 = 0-----> 4·β^3·(2 - 3·β) = 0
β = 2/3 ∨ β = 0 (escludo la seconda
Quindi il raggio cercato: r =1-2/3=1/3
90143
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Genius II
