Problema di geometria 3ºmedia

Guarda la figura:

Se il triangolo è inscritto in una semicirconferenza è sicuramente rettangolo, perché l'angolo P è  retto ed è l'angolo alla circonferenza (misura 90°), l'angolo al centro in O è il doppio ed un angolo piatto, quindi il diametro AB  corrisponde all'ipotenusa;

A + B + P = 180°  (somma degli angoli interni del triangolo);

angolo B = 1/5 dell'angolo in A;

A + B = 90°;

conosci le equazioni? Le proporzioni?... 

B è l'angolo minore, vale 1/5;

A è l'angolo maggiore, vale 5/5;

Sommiamo le frazioni:

1/5 + 5/5 = 6/5  la somma vale 90°,

dividiamo 90° in 6 parti, troviamo 1/5;

90° / 6 = 15°;

B = 1 * 15° = 15°

A = 5 * 15 = 75°.

Oppure facciamo la proporzione:

B = 1/5 A;

B/A = 1/5;

B : A = 1 : 5;

(B + A) : B = (1 + 5) : 1;

90° : B = 6 : 1;

B = 90° * 1 / 6 = 15°;

A = 90° - 15° = 75°.

Con una equazione?

A = x;

B = 1/5 x;

x + 1/5 x = 90°;

5x + x = 90° * 5;

6x = 450°;

x = 450° / 6 = 75°;  (angolo A);

B = 90° - 75° = 15° (angolo B).

Ciao  @mezzanotte

Per risolvere il problema, consideriamo un triangolo inscritto in una semicirconferenza. Sappiamo che il triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo, con l'angolo retto opposto al diametro.

Indichiamo gli angoli adiacenti al diametro con \( \alpha \) e \( \beta \). Dato che \( \alpha \) e \( \beta \) sommati devono dare 90° (poiché l'angolo opposto al diametro è di 90°), possiamo esprimere uno di questi angoli in funzione dell'altro. Secondo il problema, supponiamo che \( \alpha = \frac{1}{5} \beta \).

Quindi abbiamo:

\[ \alpha + \beta = 90^\circ \]

Sostituendo \( \alpha = \frac{1}{5} \beta \) nell'equazione, otteniamo:

\[ \frac{1}{5} \beta + \beta = 90^\circ \]

\[ \frac{6}{5} \beta = 90^\circ \]

Moltiplicando entrambi i membri per \(\frac{5}{6}\), otteniamo:

\[ \beta = 75^\circ \]

Ora calcoliamo \( \alpha \):

\[ \alpha = \frac{1}{5} \beta = \frac{1}{5} \times 75^\circ = 15^\circ \]

Gli angoli del triangolo sono quindi:

- \( \alpha = 15^\circ \)
- \( \beta = 75^\circ \)
- \( \gamma = 90^\circ \) (l'angolo retto)

Quindi, le ampiezze degli angoli del triangolo sono 15°, 75° e 90°.

In una semicirconferenza è inscritto un triangolo e gli angoli adiacenti al diametro sono un 1/5 dell’altro. Calcola le ampiezze degli angoli del triangolo.

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Dalla descrizione si tratta di un triangolo rettangolo il cui angolo retto $(90°)$ è quello alla circonferenza per cui i due angoli adiacenti il diametro sono i complementari cioè la somma di essi è 90°, conoscendone il rapporto (1/5) puoi calcolarli come segue:

angolo acuto minore $= \dfrac{90}{1+5}×1 = \dfrac{90}{6}×1 = 15°;$

angolo acuto maggiore $= \dfrac{90}{1+5}×5 = \dfrac{90}{6}×5 = 75°.$